BaccalauréatSAntilles-Guyanejuin2000
Exercice1 4points
Ungroupedevingt-deuxpersonnesdécided’alleraucinémadeuxsamedisdesuite
pourvoirdeuxfilmsAetB.
Lepremiersamedi,huitpersonnesvontvoirlefilmA,etlesautresvontvoirlefimB.
Ledeuxièmesamedi,quatrepersonnesdécidentderevoirlefimA,deuxvontrevoir
lefilmB,etlesautresvontvoirlefilmqu’ellesn’ontpasvulasemaineprécédente.
Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. On
considèrelesévènements suivants:
A «lapersonneinterrogéeavulefilmAlepremiersamedi»;1
A «laperinterrogéeavulefilmAledeuxièmesamedi»;2
B «lapersonneinterrogéeavulefilmBlepremiersamedi»;1
B «laperinterrogéeavulefilmBledeuxièmesamedi».2
1. a. Calculerlesprobabilitéssuivantes: p(A )etp(A ).1 2
b. Calculerlesprobabilitésdechacundesévènements suivants:
p(A /A ), p(A /B )et p(A ∩A )2 1 2 1 1 2
c. Reproduireetcompléter l’arbrepondérésuivant,enremplaçantchaque
point d’interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justifi-
cationn’estdemandéepourcettequestion.
? A ?2
A1?
B ?2?
?
? A ?2
B1
B ?2?
8
d. Retrouveràpartirdel’arbrepondéréque p(A )= .2
11
2. LeprixdubilletpourlefilmAestde30Fetde20Fpourlefilm B.
On appelle X la variablealéatoire égaleau coût total, pour la personne inter-
rogée,desdeuxséancesdecinéma.
a. Déterminerlaloideprobabilitédelavariablealéatoire X.
b. Déterminerl’espérancemathématique delavariablealéatoire X.
Exercice2 5points
Enseignementobligatoire
3 21. Pourtoutnombrecomplexe z,onposeP(z)=z −3z +3z+7.
a. Calculer P(−1).
b. Déterminerlesréels aetb telsquepourtoutnombrecomplexe z,onait:
2
P(z)=(z+1)(z +az+b).BaccalauréatSjuin2000
c. RésoudredansCl’équation P(z)=0.
2. Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect(O ; u,v).(Unité
graphique:2cm.)Ondésignepar A, B, C etG lespointsdupland’affixesres-
pectives
z =−1, z =2+i 3, z =2−i 3etz =3.A B C G
a. RéaliserunefigureetplacerlespointsA, B, CetG.
b. CalculerlesdistancesAB, BCetAC.EndéduirelanaturedutriangleABC.
z −zA C
c. Calculer un argument du nombre complexe .Endéduirelana-
z −zG C
turedutriangleGAC.
3. Soit (D)l’ensembledespoints M duplantelsque:
−−→ −−→ −−→ −→
− MA +2MB +2MC ·CG =+12 (1)
a. MontrerqueG estlebarycentredusystèmedepointspondérés
{(A, −1); (B, 2); (C, 2)}.
−−−→ −→
b. Montrerquelarelation(1)estéquivalenteàlarelationGM .CG =−4(2).
c. VérifierquelepointAappartientàl’ensemble (D).
−−→ −→
d. Montrerquelarelation(2)estéquivalenteàlarelationAM .GC =0.
e. Endéduirel’ensemble(D)etletracer.
Exercice2 5points
Enseignementdespécialité
Lespoints A =O;A ;...; A sont lessommets d’unpolygonerégulier decentre0 1 20
A,à21côtés,desensdirect.
Les points B =O;B ; B sont les sommets d’un polygone régulier decentre B, à0 1 14
15côtés,desensdirect.
2π
Soit r la rotation de centre A et d’angle et r la rotation de centre B et d’angleA B
21
2π
.
15
Ondéfinitlasuite(M )depointspar:n
- M estl’undespoints A , A , A ,..., A ;0 0 1 2 20
-pourtoutentiernaturel n, M =r (M ).n+1 A n
Ondéfinitlasuite(P )depointspar:n
-P estl’undespointsB , B , B ,...,B -pourtoutentiernatureln, P =r (P ).0 0 1 2 14 n+1 B n
Le but de l’exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l’ensemble S des
entiersnaturels n vérifiant:
M =P =O.n n
1. Danscettequestion, M =P = O.0 0
a. Indiquerlapositiondupoint M etcelledupoint P .2000 2000
b. Déterminerlepluspetitentiernaturel n nonnultelque M =P = O.n n
Endéduirel’ensemble S.
Antilles–Guyane 2BaccalauréatSjuin2000
2. Danscettequestion, M = A et P =B .0 19 0 10
Onconsidèrel’équation(E):7x−5y =1avecx ∈Zet y ∈Z.
a. Déterminerunesolutionparticulière(a ; b)de(E).
b. Déterminerl’ensemble dessolutionsde(E).
c. Endéduirel’ensemble S desentiersnaturels n vérifiant M =P =O.n n
Problème 11points
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle ]0;+∞[par:
2
f(x)=xln(x )−2x.
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère or-
→− →−
thonormal O, ı , ; unitégraphique:1cm.
PartieA -Étudede f .
x
1. Montrerque,pour x >0, f(x)=2xlnx−2x puisque f(x)=2xln .
e
2. a. Étudierlalimitede f en+∞.
b. Montrerque f estdérivableentout x >0;calculerf (x)pourx >0.
c. Étudierlesensdevariationdef sur]0;+∞[.
d. Donnerletableaudevariationde f sur]0;+∞[.
3. Déterminer par le calcul l’abscisse du point d’intersection de la courbe (C)
avecl’axedesabscisses.
4. Montrerquel’équation f(x)=2admetsurl’intervalle[1;5]uneuniquesolu-
− 2tionetendonnerlavaleurdécimalearrondieà10 .
PartieB -Calculd’aires
1. Soit F lafonctiondéfiniesurl’intervalle [0;+∞[par
F(0) = 0
23x
2
F(x) = x lnx−2− si x >0
2
a. Onadmetque limxlnx =0;montrerqueF estdérivableen0etpréciser
x→0
F (0).
(x)= f(x).b. Montrerque,pourtout x appartenantà]0;+∞[, F
2. On considère pour chaque entier n positif ou nul, la droite D d’équationn
y =nx.
Ontrouveraci-dessousuntracédelacourbe(C)etdesdroitesD , D , D .0 1 2
Antilles–Guyane 3BaccalauréatSjuin2000
20
D2
D1
15
10
(C)
5
D0
−5 51015
−5
a. Déterminerlescoordonnéesdupoint I ,d’abscissestrictementpositive,n
intersectionde(C)etdeD .n
On appelle P le point de l’axe des abscisses de même abscisse que I .n n
Placerlespoints I , I , I , P ,P ,P surlafiguredonnéeenannexe.0 1 2 0 1 2
b. Déterminerlapositionrelativede(C)etdeD pourlesabscissesappar-n
tenantà]0;+∞[.
3. Pourtoutn1,onconsidèreledomaine A situédanslequartdeplandéfinin
par x0ety0,délimitépar(C), D et D .n−1 n
Onnote a sonaire,expriméeenunitésd’aire.n
a. Faireapparaîtrelesdomaines A et A surlafigure.1 2
b. Calculer l’aire t dutriangleOP I ,enunitésd’aire.n n n
c. Calculer l’aire u , en unités d’aire, du domaine situé dans le quart den
plandéfinipar x0ety0,délimitépar(C),l’axedesabscisses, etles
parallèlesàl’axedesordonnéespassantpar P et P .0 n
d. Vérifier que l’aire v en unités d’aire,dudomainesitué danslequartden
plan défini par x0ety0,délimitépar(C) , l’axe des abscisses et
2 nD ,estv =t −u =e e −1 .( )n n n n
e. Calculer alors a .n
4. Montrerquelasuite(a )estunesuitegéométrique.n
Enpréciserlaraisonetlepremierterme.
Antilles–Guyane 4