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Corrige AGREGEXT Probleme de physique option physique 2008 AGREG PHYS

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Nanomagn´etisme et sonde `a effet HallCorrig´e1 Mouvement d’une particule charg´ee dans un champ´electromagn´etique1.1 Lagrangien d’une particule dans un champ ´electromagn´etique11. Impulsion:p = m×2v +qA ,demˆemepourlesdeuxautrescomposantes.Finalement:x x x2−→−→ −→p =mv +qA.−→ −→ 1 2´Energie :E = p v −L = mv +qφ.21 22. (a) L’´energie se met bien sous laformeE =E +E ou`E = mv est l’´energiecin´etiquec el c 2etE =qφ l’´energie potentielle de la particule dans le potentiel φ.el −→ 2−→ p −qA1 −→−→ −→(b) v = p −qA d’ou` :E = .cm 2m1.2 Force de Lorentz et transformation des champs−→−→ −−→ ∂A −→ −→−→1. E =−gradΦ− et B =rot A.∂t −→ −→ −→−→2. Dansler´ef´erentiel(K),laforcedeLorentzs’´ecrit: f =q E+ v∧B .Dansler´ef´erentiel−→ −→ −→ −→ −→ −→′ ′ ′ ′ ′ ′(K ), elle s’´ecrit : f = q E + v ∧B . Or en m´ecanique classique, f = f . De plus,−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→−→ −→ −→ −→′ ′ ′ ′v = v + v . Donc E + v ∧B = E + v ∧ B + v ∧ B.e eOn en d´eduit : −→ −→−→ −→ −→′ ′ −→B = B et E = E + v ∧ Be−→ −→ −→ −→ −→−→ −→′3. Pour que E = 0, il faut que v ∧ B =−E. Il faut donc que E soit orthogonal `a Be−→ −→et que kEk≪ ckBk pour que v existe et que l’on reste dans le cadre de la m´ecaniqueclassique. −→ −→E ∧ B−→Alors, grˆace `a la formule du double produit vectoriel, on trouve : v = .d 2B1.3 Mouvement d’une particule charg´ee dans un champ ´electroma-gn´etique1. La force magn´etique ne travaille pas donc l’´energie cin´etiquede la particule se conserve :le module du vecteur ...

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Nanomagn´etismeetsonde`aeetHall Corrig´e
1Mouvementduneparticulecharg´eedansunchamp electromagn´etique ´ 1.1Lagrangienduneparticuledansunchamp´electromagn´etique 1. Impulsion : p x = 12 m × 2 v x + qA x ,demˆemepourlesdeuxautrescomposantes.Finalement: −→ p = m v + q A . ´ Energie : E = −→ p v − L = 21 mv 2 + . 2.(a)Le´nergiesemetbiensouslaforme E = E c + E el o`u E c = 12 mv 2 estle´nergiecine´tique et E el = l´energiepotentielledelaparticuledanslepotentiel φ . (b) v =1 m −→ p q A do`u: E c = −→ p 2 mq A 2 . 1.2 Force de Lorentz et transformation des champs −→ Φ ∂ A et B = r o t A . 1. E = grad ∂t −→ E + v B . Dans 2.Dansler´efe´rentiel( K ),laforcedeLorentzs´ecrit: f = q ler´ef´erentiel : f −→ q B −→ .Orenm´ec ( K ),ellese´crit = E + v anique classique, f = f . De plus, −→ −→ v = v + v −→ e . Donc E + v −→ B = E + v −→ e B + −→ v B . Onend´edui t : B = B et E = E + v e B 3. Pour que E = −→ 0 , il faut que v −→ e B = E . Il faut donc que E soitorthogonal`a −→ B et que k E k ≪ c k B k pour que v existeetquelonrestedanslecadredelame´canique classique. Alors,graˆcea`laformuledudoubleproduitvectoriel,ontrouve: v −→ d = EB 2 B . 1.3Mouvementduneparticulecharg´eedansunchamp´electroma-´eti gn que 1.Laforcemagnetiquenetravaillepasdoncl´energiecine´tiquedelaparticuleseconserve: ´ le module du vecteur vitesse reste constant au cours du mouvement. Dautrepart,leprincipefondamentaldeladynamiqueprojet´esurlanormaleaumouve-mentse´crit: mvρ 2 = | q | vB o`u ρ estlerayondecourburedelatrajectoire.Onende´duit que celui-ci est constant : la trajectoire est un cercle de rayon ρ = | qm | vB ,de´crita`lavitesse | q | B . Comme q < 0, la trajectoire est d s positif angulaire ω c = vρ = m e´critedanslesen(par rapporta` Oz ).
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