Corrige AGREGEXT Probleme de physique option physique 2008 AGREG PHYS

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camus

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Nanomagn´etisme et sonde `a eﬀet HallCorrig´e1 Mouvement d’une particule charg´ee dans un champ´electromagn´etique1.1 Lagrangien d’une particule dans un champ ´electromagn´etique11. Impulsion:p = m×2v +qA ,demˆemepourlesdeuxautrescomposantes.Finalement:x x x2−→−→ −→p =mv +qA.−→ −→ 1 2´Energie :E = p v −L = mv +qφ.21 22. (a) L’´energie se met bien sous laformeE =E +E ou`E = mv est l’´energiecin´etiquec el c 2etE =qφ l’´energie potentielle de la particule dans le potentiel φ.el −→ 2−→ p −qA1 −→−→ −→(b) v = p −qA d’ou` :E = .cm 2m1.2 Force de Lorentz et transformation des champs−→−→ −−→ ∂A −→ −→−→1. E =−gradΦ− et B =rot A.∂t −→ −→ −→−→2. Dansler´ef´erentiel(K),laforcedeLorentzs’´ecrit: f =q E+ v∧B .Dansler´ef´erentiel−→ −→ −→ −→ −→ −→′ ′ ′ ′ ′ ′(K ), elle s’´ecrit : f = q E + v ∧B . Or en m´ecanique classique, f = f . De plus,−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→−→ −→ −→ −→′ ′ ′ ′v = v + v . Donc E + v ∧B = E + v ∧ B + v ∧ B.e eOn en d´eduit : −→ −→−→ −→ −→′ ′ −→B = B et E = E + v ∧ Be−→ −→ −→ −→ −→−→ −→′3. Pour que E = 0, il faut que v ∧ B =−E. Il faut donc que E soit orthogonal `a Be−→ −→et que kEk≪ ckBk pour que v existe et que l’on reste dans le cadre de la m´ecaniqueclassique. −→ −→E ∧ B−→Alors, grˆace `a la formule du double produit vectoriel, on trouve : v = .d 2B1.3 Mouvement d’une particule charg´ee dans un champ ´electroma-gn´etique1. La force magn´etique ne travaille pas donc l’´energie cin´etiquede la particule se conserve :le module du vecteur ...

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Nanomagn´etismeetsonde`aeﬀetHall Corrig´e

1Mouvementd’uneparticulecharg´eedansunchamp electromagn´etique ´ 1.1Lagrangiend’uneparticuledansunchamp´electromagn´etique 1. Impulsion : p x = 12 m × 2 v x + qA x ,demˆemepourlesdeuxautrescomposantes.Finalement: −→ −→− p = m → v + q A . ´ Energie : E = −→ p −→ v − L = 21 mv 2 + qφ . 2.(a)L’e´nergiesemetbiensouslaforme E = E c + E el o`u E c = 12 mv 2 estl’e´nergiecine´tique et E el = qφ l’´energiepotentielledelaparticuledanslepotentiel φ . (b) − v → =1 m  −→ p − q − A →  d’o`u: E c =  −→ p 2 − mq − A →  2 . 1.2 Force de Lorentz et transformation des champs −→ −→−−→ Φ − ∂ A et − B → = r − o → t − A → . 1. E = − grad ∂t −→  − E → + − v →∧− B →  . Dans 2.Dansler´efe´rentiel( K ),laforcedeLorentzs’´ecrit: f = q ler´ef´erentiel : f −→ q  −→−→ ′ ∧ B −→ ′  .Orenm´ec −→−→ ( K ′ ),elles’e´crit ′ = E ′ + v anique classique, f = f ′ . De plus, −→ −→ v = − v → ′ + v −→ e . Donc − E → ′ + v −→ ′ ∧− B → ′ = − E → + v −→ e ∧ B + −→ v ∧−→ B . Onend´edui t : −→−−→−→−→−→ B ′ = → B et E ′ = E + v e ∧ B −−→ 3. Pour que E → ′ = −→ 0 , il faut que v −→ e ∧ B = −−→ E . Il faut donc que − E → soitorthogonal`a −→ B −→−→ et que k E k ≪ c k B k pour que v existeetquel’onrestedanslecadredelame´canique classique. −→−→ Alors,graˆcea`laformuledudoubleproduitvectoriel,ontrouve: v −→ d = EB ∧ 2 B . 1.3Mouvementd’uneparticulecharg´eedansunchamp´electroma-´eti gn que 1.Laforcemagnetiquenetravaillepasdoncl’´energiecine´tiquedelaparticuleseconserve: ´ le module du vecteur vitesse reste constant au cours du mouvement. D’autrepart,leprincipefondamentaldeladynamiqueprojet´esurlanormaleaumouve-ments’e´crit: mvρ 2 = | q | vB o`u ρ estlerayondecourburedelatrajectoire.Onende´duit que celui-ci est constant : la trajectoire est un cercle de rayon ρ = | qm | vB ,de´crita`lavitesse | q | B . Comme q < 0, la trajectoire est d s positif angulaire ω c = vρ = m e´critedanslesen(par rapporta` Oz ).

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