Agrégation externe de sciences physiques, option physique Session 2008 Corrigé de l’épreuve A ELECTROMAGNETISME Première Partie : Quelques aspects fondamentaux de l’électromagnétisme A. Des équations de Maxwell I. ♦ Coulomb Charles (1736-1806) : met en évidence expérimentalement la loi 1 (loi de Coulomb). d’interaction électrostatique en 2r♦ Ampère André-Marie (1775-1836) : origine électrique du magnétisme (courants ampériens), travaux sur les forces d’interaction entre circuits, théorème dit d’Ampère. ♦ Faraday Michael (1791-1867) : lois expérimentales de l’induction électromagnétique. ♦ Maxwell James Clerk (1831-1879) : réalise la synthèse de l’électromagnétisme en unifiant électricité, magnétisme, induction, et en prévoyant l’existence des ondes électromagnétiques. Il est à noter que Maxwell n’est pas l’auteur formel des célèbres équations de Maxwell, même si les idées fondamentales qui s’y cachent lui sont dues sans doute possible. C’est Oliver Heaviside, élève de Maxwell qui mettra les idées de Maxwell en forme et produira formellement le système des « équations de Maxwell ». ♦ Hertz Heinrich (1857-1894) : réussit, en 1886, à produire et à détecter des ondes électromagnétiques. Il apporte ainsi, vingt ans après, la confirmation expérimentale à la théorie de Maxwell. ♦ Lorentz Hendrik Antoon (1853-1928) : auteur de la célèbre transformation de Lorentz, qui permettra de donner à l’électromagnétisme son cadre naturel : la relativité. ...
Agrégation externe de sciences physiques, option physique
Session 2008
Corrigé de lépreuve A ELECTROMAGNETISME
Première Partie : Quelques aspects fondamentaux de lélectromagnétisme
A.Des équations de Maxwell I.♦(1736-1806) : met en évidence expérimentalement la loiCoulomb Charles 1 dinteraction électrostatique en2(loi de Coulomb).
II.♦
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♦Ampère André-Marie (1775-1836) : origine électrique du magnétisme (courants ampériens), travaux sur les forces dinteraction entre circuits, théorème dit dAmpère. ♦Faraday Michael (1791-1867) : lois expérimentales de linduction électromagnétique.♦Maxwell James Clerk (1831-1879) : réalise la synthèse de lélectromagnétisme en unifiant électricité, magnétisme, induction, et en prévoyant lexistence des ondes électromagnétiques. Il est à noter que Maxwell nest pas lauteur formel des célèbres équations de Maxwell, même si les idées fondamentales qui sy cachent lui sont dues sans doute possible. Cest Oliver Heaviside, élève de Maxwell qui mettra les idées de Maxwell en forme et produira formellement le système des « équations de Maxwell ». ♦Hertz Heinrich (1857-1894) : réussit, en 1886, à produire et à détecter des ondes électromagnétiques. Il apporte ainsi, vingt ans après, la confirmation expérimentale à la théorie de Maxwell. ♦Lorentz Hendrik Antoon (1853-1928) : auteur de la célèbre transformation de Lorentz, qui permettra de donner à lélectromagnétisme son cadre naturel : la relativité. ♦Lorenz Ludwig (1829-1891) : même si ce nest pas à lui que lénoncé pensait, on pouvait évoquer son nom car il fut lun des premiers à développer la théorie de Maxwell et à utiliser les potentiels scalaire et vecteur ρe ⇔E.n=me de Gauss div Eε=0∫S∫xtQSdε0nti: théorè rot B= μ0⎝⎜j+ ε0∂∂Et∫⎜⎝Iint+ ε0∫S∫∂∂tE.ndS⎟: théorème dAmpère ⇔B ⎠⎟C.dl= μ0 rot E−∂∂=tB⇔C∫E.dl= −tdd⎝⎜∫S∫B.ndS⎠⎟: loi de Faraday div B=0⇔∫∫B.nextdS=0: champ magnétique à flux conservatif S Pour fonder lélectromagnétisme, il faut ajouter, ou bien la loi de force de Lorentz, qui définit linteraction électromagnétique, ou bien, lexpression du vecteur de Poynting, qui caractérise les échanges énergétiques.
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B.De lApproximation des Régimes Quasi-Stationnaires I.Condensateur plan en régime sinusoïdal forcé : première approche. 1.a.La symétrie de révolution daxeOzainsi que lexistence des plans de symétrie contenant laxeOz i pliquent :E(r,t)=Er(r,z,t)ur+Ez(r,z,t)uz m⎨⎪⎩⎪B(r,t)=Bθ(r,z,t)uθ. e Sirot E=0,∂Ezr∂=rEz, soit en ordre de grandeur :Er≈Ez, donc :Er≈R<<1. e R Ez 1.b.Dans ces conditions, la composante radiale du champ électrique est bien négligeable et on peut donc écrire :E(r,t)≈Ezr,z,t)uz. De plus, lespace inter-armatures étant vide de charges, div E=0, soit∂Ez=0. Enfin,Enétant fonction que de ett, léquation de Maxwell-Faraday z implique queB etaussi ne dépende que det. ⎪E r)=Ez(r,t)uz Conclusion :⎩⎪⎨B((r,,tt)=Bθ(r,t)uθ. 2.Les équations de Maxwell donnent léquation de dAlembert, qui sécrit simplement pourE: ∂2E ∂2E2+1∂E−12=0 c t2. 3.Léquation de Maxwell-Faraday donne immédiatement :B(r,t)= −i E0e′(r)exp(iωt)
4.On déduit de la question précédente quee(r)vérifie léquation :e′′(r)+1e′(r)+cω22e(r)=0. En posantu=c, il vient (puisquee=uec) :e′′(u)+1eu′(u)+e(u)=0. 5.a. Léquation de Maxwell-Ampère, ou le théorème dAmpère écrit le long dun cercle orienté daxe Oz, et de rayon r donne :B1(r,t)=2ic2rE0exp(iωt). 5.b.Il sagit dun phénomène dinduction (de Neumann). Léquation de Maxwell-Faraday donne : 2 E2(r,t)=−ω42rc2E0exp(iωt)sur laxe car il est dû au champ. Ce champ électrique doit sannuler perturbatifB1(r,t)=2ci2rE0exp(iωt), lequel sannule sur laxe. r 5.c.Le théorème dAmpère donne, en partant deE2r,t:B3(r,t)= −1i6ωc334E0exp(iωt). La,t= loi de Faraday donne, en partant deB3r,t:E4(r)6ω44rc44E0exp(iωt). 5.d.On somme les différentes contributions :E r,t=E0r,t E2r,t+E4r,t+...et on trouve : 21 E(r,t)=E0⎝⎜1−41ω⎜⎛⎝rc⎠⎟⎞64⎛⎝ω⎜cr⎠⎟⎞4+...⎠⎟exp(iωt). +
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