BPT 2004 mathematiques b classe prepa pt

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H62T * Banque filière PT +?+ Epreuve de Mathématiques 1-B Durée 4 h L’usage de calculatrices est interdit On désigne par r un entier naturel supérieur ou égal à 2 et par IN,. l’ensemble des entiers naturels { 1,2, - - , r). On désigne par M,(IR) l’ensemble des matrices carrées d’ordre r à coefficients réels. On note Ir la matrice unité d’ordre r. Une matrice M = (mij) E M,.(IR) est dite à diagonale strictement dominante si, et seulement si vi E IN, IgniiI > CIrnijl. j#i Une matrice A = (aij) E Mr(IF1) est dite stochastique lorsqu’elle vérifie les deux conditions suivantes : 6) (ii) vi E IN, Elle est dite stochastique stricte si, de plus, ses coefficients sont tous non nuls. On note S,. l’ensemble des matrices stochastiques de Mr(IR) et 5’: l’ensemble des matrices stochastiques strict es. Soit A = (aij) un élément de S,., on pose : vn E IN* A~+I = ~n x A et A” = ( (y)). av On a donc ai:) = aij. Si pour tout (i,j) f IN;, la suite de terme général uiy) a une limite finie quand n tend vers l’infini, on dira que la suite de terme général A” a une limite finie quand n tend vers l’infini. On notera : lim A” = A” = (a?). n++m 1 PARTIE A 1. Montrer que le produit de deux éléments de S2 est élément de S2. /1 2\ - 2.OnposeA= ( 33 ] 10 J. \2 21 (a) Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que: A2 = aA + bI2. (b) En deduire qu’il existe deux suites de réels (a,) et (bn) telles que l’on ait : Vn E IN* A” = a,A + bJ2. (c) Montrer que l’on a, ...

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