Universite Lyon Master Groupes classiques et geometrie

zauj

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

3 pages

Français

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

A propos
Informations
Extrait

Description

Niveau: Supérieur
Universite Lyon 1 – 2011-2012 Master 1 – Groupes classiques et geometrie Partiel du 6 avril 2012 Exercice 1 : axiomes de separation Soit G un groupe topologique, e son neutre. On considere les proprietes suivantes : (T0) pour tout couple (x, y) ? G?G tel que x 6= y, il existe un ouvert V tel que (x ? V et y /? V ) ou (x /? V et y ? V ) ; (T1) pour tout couple (x, y) ? G ? G tel que x 6= y, il existe un ouvert V tel que x ? V et y /? V ; (T2) pour tout couple (x, y) ? G?G tel que x 6= y, il existe deux ouverts V et W tels que (x ? V \W et y ?W \ V ). Il est clair que (T2)? (T1)? (T0). On va montrer que ces proprietes sont equivalentes pour un groupe topologique (c'est faux pour un espace topologique en general). 1. On suppose que la propriete (T0) est satisfaite. (a) Soit x un element de G distinct de e. On suppose que V est un ouvert de G contenant x mais pas e. Montrer que xV ?1 est un ouvert de G contenant e mais pas x.

orbites dans m0

produit semi-direct

unique matrice

base canonique de cn

espace topologique en general

groupes topologiques

Sujets

Produit semi-direct

Informations

Publié par	zauj
Publié le	01 janvier 2011
Nombre de lectures	45
Langue	Français

Extrait

Universit´eLyon1–2011-2012 Master1–Groupesclassiquesetg´eom´etrie

Partiel du 6 avril 2012

Exercice1:axiomesdes´eparation SoitGun groupe topologique,eosnnconsid`eeutre.On´irpe´teelerorps:esuissntva (T0) pourtout couple (x, y)∈G×Gtel quex6=y, il existe un ouvertVtel que (x∈Vet y /∈V) ou (x /∈Vety∈V) ; (T1tout couple () pourx, y)∈G×Gtel quex6=y, il existe un ouvertVtel quex∈Vet y∈/ V; (T2tout couple () pourx, y)∈G×Gtel quex6=y, il existe deux ouvertsVetWtels que (x∈V\Wety∈W\V). Il est clair que (T2)⇒(T1)⇒(T0´erioppresecquerrtnomavnO.)rspouentevilae´uqostn´tse ungroupetopologique(c’estfauxpourunespacetopologiqueenge´ne´ral). 1.Onsupposequelaproprie´t´e(T0) est satisfaite. (a) Soitxle´neme´edtnuGdistinct dee. On suppose queVest un ouvert deGcontenant −1 xmais pase. Montrer quexVest un ouvert deGcontenantemais pasx. (b)Prouverlapropri´et´e(T1). 2.Onsupposequelaproprie´te´(T1) est satisfaite. Soientxetye´xledueme´esdnttiissdntG −1−1 etUun ouvert contenantxymais pase. On notef:G×G→G, (g, h)7→xgy h. −1 (a) Montrerquef(U) contient une partie de la formeV1×V2`o,uV1etV2sont deux ouverts contenante. (b)End´eduirelapropri´et´e(T2).

Exercice2:´etuded’unproduitsemi-direct n Soitnun entier naturel non nul. On identiﬁeRcaee’ps`laMn,1(R) des matrices ayantn lignes et 1 colonne. On noteInmroftaalamtriceidentit´eden×n. On noteGl’ensemble des matricesg∈GLn+1(R)dmetquiaunedtentsopmoce´bnenoitiladecslouiesrmfontvae:   g v 0n gou`=g0∈GLn(R), v∈R. 0 1

1.V´eriﬁerqueGg-orpufetsnuossuLeeGedm´ern+1(R). 2. OnnoteH(resp.K) la partie deGecstairedmse´seformgtelles que l’on ait, avec les notations ci-dessus : g0=In(resp.v= 0). Montrer queHetKro-gussormfeesupe´edsedtnosGet queHgu´estintsid.e 3. MontrerqueGgilopotoctredii-euqmorptisoesstmedoiunurpeha`HoK. Expliciter le morphisme d’actionK→Aut(Hodprtsuiﬁn´eceit.tc-imeerid)uqdi 4. Exhiberun isomorphisme entreG/HetK. 5. Exhiberun isomorphisme entreGet un groupe bien connu.