Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

zauj - Charles Suquet

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Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2009 Corrigé du partiel du 17 avril 2009. Ex 1. Dé et compensations exactes (4 points) On lance indéfiniment un dé équilibré. On dit qu'un lancer réalise une compensation exacte si une fois ce lancer effectué, chacune des faces du dé est apparue le même nombre de fois depuis le début des lancers. Le nombre total de lancers effectués lorsque l'on observe un tel évènement est donc nécessairement un multiple de 6. Pour n entier, on note En l'évènement « le lancer no 6n » réalise une compensation exacte. 1) Le vecteur aléatoire N de N6 des nombres d'apparitions de chacune des faces en m lancers suit la loi multinomiale de paramètres m (nombre total de lancers) et p = (p1, . . . , p6) où pi est la probabilité d'apparition de la face no i lors d'un lancer. On a donc pour tout sextuple (j1, . . . , j6) d'entiers de somme m, P ( N = (j1, . . . , j6) ) = m! j1! . . . j6! pj11 . . . p j6 6 . Puisque le dé est « équilibré », on peut prendre chaque pi égal à 1/6.

probabilité nulle

variable aléatoire de loi uniforme

variable aléatoire

probabilité d'apparition de la face no

marche aléatoire dans r2

erreur d'approximation gaussienne

somme des points

Sujets

Variable aléatoire

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Extrait

IS Math314

Université U.F.R. de

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

Corrigé du partiel du 17 avril 2009.

Année 2009

Ex 1.Dé et compensations exactes (4 points) On lance indéﬁniment un dé équilibré. On dit qu’un lancer réalise une compensation exacte si une fois ce lancer eﬀectué, chacune des faces du dé est apparue le mme nombre de fois depuis le début des lancers. Le nombre total de lancers eﬀectués lorsque l’on observe un tel évènement est donc nécessairement un multiple de6. Pournentier, on o noteEnl’évènement « le lancer n6n» réalise une compensation exacte. 6 1) Le vecteur aléatoireNdeNdes nombres d’apparitions de chacune des faces enmlancers suit la loi multinomiale de paramètresm(nombre total de lancers) et o p= (p1, . . . , p6)oùpiest la probabilité d’apparition de la face nilors d’un lancer. On a donc pour tout sextuple(j1, . . . , j6)d’entiers de sommem,

  m! j1j6 P N= (j1, . . . , j6) =p1. . . p6. j1!. . . j6!

Puisque le dé est « équilibré », on peut prendre chaquepiégal à1/6. En prenantj1= j2=∙ ∙ ∙=j6=ndans la formule ci-dessus, on obtient alors   6n (6n)! 1 P(En) =. 6 (n!) 6 √ k+1/2−k 2) On rappelle que par la formule de Stirling,k!est équivalent à2πke quandktend vers l’inﬁni. En appliquant cette formule aveck= 6net aveck=n, on obtient :    √1√1 −6 6n+−6n n+−n−6n1/2−5/2−5/2 P(En)∼2π(6n) e 2πne 6 (2= 6 π)n . 2 2

−5/2 3) AinsiP(En)∼cnaveccconstante positive et comme l’exposant5/2est strictement supérieur à1, lasériede terme général positifP(En)converge. Le premier lemme de Borel-Cantelli nous dit alors que l’évènement « réalisation d’une inﬁnité de En» est de probabilité nulle. Autrement dit, presque-sûrement, dans une suite inﬁnie de lancers d’un dé équilibré, il ne se produit qu’un nombre ﬁni de compensations exactes.