Universite de Nice Sophia Antipolis L3 Mass Calcul differentiel

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Universite de Nice Sophia-Antipolis 2010 - 2011 L3 Mass. Calcul differentiel Feuille TD 2 : Corrige partiel 1: Devoir a rediger. On considere la fonction : f(x, y) = { xy3 x2+y6 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) Montrer que cette fonction admet une derivee directionnelle ∂f∂v a l'origine dans toute direction v et donner sa valeur. Montrer qu'en particulier les deux derivees partielles ∂xf(0, 0) et ∂yf(0, 0) sont nulles. En supposant provisoirement que f est differentiable, donner son developpement limite a l'ordre 1 a l'origine. En considerant le cas particulier ou x = y3, montrer que la fonction ?(x, y) := 1 ||(x, y)|| .(f(x, y)? f(0, 0)?Df(0,0).(x, y)) ne tend pas vers 0 quand (x, y) ? (0, 0). En considerant le meme cas particulier, montrer que pour toute con- stante ? la courbe d'equation x = ?y3 est une courbe de niveau de f . Pensez-vous que f est continue a l'origine? Conclusions : repondez aux questions suivantes : a) est-ce que f est continue a l'origine? b) est-ce que f admet un developpement limite d'ordre 1 a l'

classe c∞ sur r2 ?

universite de nice - sophia-antipolis

∂f ∂v

meme ∂2f

origine

∂f ∂y

∂2f ∂u

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Langue	Français

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Universit´edeNiceSophia-Antipolis2010-2011 L3Mass.Calculdiﬀ´erentiel FeuilleTD2:Corrig´epartiel 1:Devoir`are´diger.notcoi:nisnocnOfalere`d 3 xy 2 6si (x, y)6= (0,0) x+y f(x, y) = 0 si(x, y) = (0,0) ∂f Montrerquecettefonctionadmetuned´eriv´eedirectionnellea`l’origine ∂v dans toute directionvMontrer qu’en particulieret donner sa valeur. lesdeuxde´rive´espartielles∂xf(0,0) et∂yf(0,0) sont nulles. En supposant provisoirement quef,dleneonenerabtitse´ﬀidntlepoepemsrno´dve limite´`al’ordre1a`l’origine. 3 Enconside´rantlecasparticulierou`x=y, montrer que la fonction 1 θ(x, y) :=.(f(x, y)−f(0,0)−Df(0,0).(x, y)) ||(x, y)|| ne tend pas vers 0 quand (x, y)→(0,0). Enconsid´erantlemeˆmecasparticulier,montrerquepourtoutecon-3 stanteλnoitauqe´’debcourlax=λyest une courbe de niveau def. Pensez-vous quefgiro?enieuni’la`s:onepr´ncCosiluuxezsatdceoonnt questions suivantes : a)est-cequefestcontinuea`l’origine? b)est-cequefadmetunde´veloppementlimit´ed’ordre1`al’origine? c)est-cequefestdiﬀe´rentiablea`l’origine? d) est-ce que∂xfet∂yfntinntcosoigir?en`seuo’la Corrige´.es1d.ecourss,lCehsanpoittertreidlnarrgie´apirVocoun ∞2 Onv´eriﬁefacilementquefest de classeCsurR− {0,0)}. En-suite, on montre directement quefired´eiverd´netudaemellennoitce 2 a`l’originedanstoutedirectionv∈Rdutetnaiilaletimanqud,en´ h→0 de −1 h[f(0 +hv1,0 +hv2)−f(0,0)] et en montrant que cette limite est nulle pour tout (v1, v2),attention! y compris quandv1=tourttsunpluoretaueerrslenum´0,caraloh, 4 h .0 donc la fraction6 6a une limite nulle quandh→particulier,0. En h .v 2 ¯ on a :∂xf(0,0) =∂yf(0,0)0, et doncrf(0,0) = (0,0). 2∂f Donc pour toutv∈Rneontiec’oale`llre´dal,ridee´vietenirigsietxe ∂v est nulle.Par contre, on voit que quefe,inigorl’`auetnnisaocsept’n 3 car e.g.pour touty,f(yy ,)≡1/2 ne tend pas versf(0,0) = 0 quand y→uetquspl0eemeloptnne´gare´turuotλfnotssectet´eante`agale 2 3 λ/(1+λ). Donctoute courbe{x=λy}est une courbe de niveau def. 1