Universite d'Orleans Licence semestre

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Niveau: Supérieur
Universite d'Orleans Licence semestre 2 Unite L1MT03 Structures mathematiques corrige de l'examen partiel du 23 mars 2005 1. Il est facile de voir que pour tous x,y entiers naturels, x ? y est un entier naturel. ? est donc une loi de composition interne sur N. Il est facile de voir que ? est commutative: x ? y = xy + x + y = yx + y + x = y ? x. Ce point sera utilise par la suite. Pour x, y, z entiers naturels, posons F (x, y, z) = (x ? y) ? z. On a F (x, y, z) = (xy+x+y)?z = (xy+x+y)z+(xy+x+y)+z = xyz+xz+yz+xy+x+y+z. Par symetrie, il est ainsi facile de voir que F (x, y, z) = F (z, y, x). Ainsi (x ? y) ? z = F (x, y, z) = F (z, y, x) = (z ? y) ? x = x ? (z ? y) = x ? (y ? z) On remarquera que les deux dernieres egalites utilisent le fait que ? est commutative.

associativite decoule de la definition de la composee d'applications

ecriture licite en base

loi de composition interne associative

identite

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Publié par	chaeh
Publié le	01 mars 2005
Nombre de lectures	47
Langue	Français

Extrait

Universited’Orleans

UniteL1MT03

Structuresmathematiques

corrigedel’examenpartieldu23mars2005

Licence semestre 2

1. Ilest facile de voir que pour tousx,yentiers naturels,x ? yest un entier naturel.?est donc une loi de composition interne surN. Ilest facile de voir que?est commutative:x ? y=xy+x+y=yx+y+x=y ? x. Cepointserautiliseparlasuite.Pourx, y, zentiers naturels, posons F(x, y, z) = (x ? y)? z. Ona F(x, y, z) = (xy+x+y)?z= (xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z. Parsymetrie,ilestainsifaciledevoirqueF(x, y, z) =F(z, y, x). Ainsi (x ? y)? z=F(x, y, z) =F(z, y, x) = (z ? y)? x =x ?(z ? y) =x ?(y ? z) Onremarqueraquelesdeuxdernieresegalitesutilisentlefaitque?est commutative. Ainsi?est une loi de composition interne associative.0 estelementneutrepour?car pour toutxentier, on a 0? x=x ?0 = x.0 +x+ 0=x. Ainsi(N, ?nu’desneofelemrelunoilembd’etstuncoup)e decompositioninterneassociativesurcetensembleadmettantunelement neutre:c’estdoncunmonode. 2 2.Unnombrequis’ecrit173enbasebvautb+ 7bSoit+ 3.bune base telle 2 quecenombrevaille371.Onanecessairement371=b+ 7b+ 3,ou de maniereequivalente. 2 b+ 7b368 = 0. Lesracinesnecepolynˆomeduseconddegresontb1= 16 etb2=19. Seule la racineb1essaneccona,donnetrimevnocrinetuepbtenemquroipRce1=.6 2 173estbienuneecritureliciteenbase16car7<+6116etbiensˆur 16.7 + 3 = 371.

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