UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES E Trelat

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Niveau: Supérieur, Bac+5
UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES 2007-2008 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES E. Trelat Semaine 16 - Exercices sur les equations differentielles. 1. Etudier et tracer les solutions des equations differentielles y? = xy2, y? = y2, y? = 1 + y2, y? + |y| = 1. 2. Soit (f, g) une base de solutions de l'equation differentielle homogene y??(t) + p(t)y?(t) + q(t)y(t), ou p et q sont des fonctions continues sur un intervalle ouvert de R. (a) Montrer que les zeros de f sont isoles. (b) Prouver qu'entre deux zeros successifs de f , il y a un unique zero de g (on considerera le wronskien w(t) = f(t)g?(t)? f ?(t)g(t)). 3. Soient r et s deux fonctions continues definies sur un intervalle I de R. Soit f une solution non nulle de l'equation differentielle y??(t) + r(t)y(t) = 0, et g une solution non nulle de y??(t) + s(t)y(t) = 0. On suppose que s(t) ≥ r(t) pour tout t ? I.

exercices sur les equations differentielles

differentes allures du portrait de phases au voisinage

portrait de phase

probleme de cauchy dx

x0 ?

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UNIVERSITE D’ORLEANS DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES Semaine16-Exercicessurlese´quationsdiﬀe´rentielles.

1.Etudierettracerlessolutionsdes´equationsdiﬀe´rentielles 0202020 y=xy ,y=y ,y= 1 +y ,y+|y|= 1.

CAPES 2007-2008 E.Tr´elat

2. Soit(f, gieebnatseh)lulnogomne`e’ledsnoitulosedere´eiﬀndioatqu´e 00 0 y(t) +p(t)y(t) +q(t)y(t), o`upetqsont des fonctions continues sur un intervalle ouvert deR. (a)Montrerquelesze´rosdefloosstin.se´ (b)Prouverqu’entredeuxz´erossuccessifsdefuniquez´,ilyaunedoregenkinsroewalerer´disnocno( 0 0 w(t) =f(t)g(t)−f(t)g(t)).

3. Soientretsrusuesnivaerntnielldenctiuxfonoitnocs´dﬁeunseIdeR. Soitfune solution non nulle 00 00 del’e´quationdiﬀ´erentielley(t) +r(t)y(t) = 0, etgune solution non nulle dey(t) +s(t)y(t) = 0. On suppose ques(t)≥r(t) pour toutt∈I. (a) Soientt1ett2dsfiecusssseceuxz´erodf. Montrer qu’il existe dans ]t1, t2edorez´un[g, sauf sif 0 0 etgsont proportionnelles sur ]t1, t2notoedei([´eonditualeronamw(t) =f(t)g(t)−f(t)g(t)). 00 (b) i.Supposons quer(t)≤0, pour toutt∈I. Montrer que toute solution non nulle dey(t) + r(t)y(tns´enzdaropuaausul0=)I. 2 ii. Soitµ >on suppose que0 ;r(t)≤µ, pour toutt∈I. Soientt1ett2secs´ifute´orcsnoduezx 00π d’une solution non nulle dey(t) +r(t)y(t) = 0. Montrer quet2≥t1+ . µ 2π iii. Soitλ >on suppose que0 ;r(t)≥λ, pour toutt∈I. Soitt1∈Itel quet1+∈I. Montrer λ 00π que toute solution dey(t) +r(t)y(t]snad=)moin0aau´erosunzt1, t1+ [. λ

4.Onconside`relesyst`emediﬀ´erentielline´aire  0 x=ax+by , 0 y=cx+dy o`u   a b A= c d estunematricere´elle.Repre´senterlesdiﬀ´erentesalluresduportraitdephasesauvoisinagede(0,0) selon les valeurs propres deA. (NB:leportraitdephasesestlarepre´sentationdessolutionsx(t), y(toordlesceesonn´adsn)x, y seulement)

5. SoitA∈ Mn(C). +∞ X n t tA n∞ (a) Montrerque l’applicationt∈R7→−e=A∈ Mn(Cbtse)stte,eieﬁn´endieC. n! n=1 n (b) Montrerque pour toutt0∈Ret toutX0∈Crpel`lbo,ychedemaueCdX/dt=AX,X(t0) =X0 (t−t0)A admetuneuniquesolutiond´eﬁniesurRalofmrlunne´pera,doeX(t) =e X0. Quelle est la formeg´en´eraled’unesolutiondedX/dt=AX? n (c) SoitB:R→Celeprobl`emedeCatnnieuM.nortreuqocnoitacilppaenuyhcudX/dt=A X+ B(t),X(t0) =X0, admet une unique solutionX(t)d´esurﬁnieRmuorafrl:ledtseiuq,apee´nno Z t (t−t0)A(t−s)A X(t) =e X0+e B(s)ds t0 (Indication :ontiiaaraveledod.)etnatsnocaledOnpourralrmae´htpalpqieu (d) SoitAdro’ertricnemaullde´ree´reecerandont les valeurs propres (dansC) sont distinctes de n 2ikπ, k∈Z. Soit d’autre partB:R→Rplapneuncioaticuneenoite´ir1tp-ue.odiq 0 Montrerquelesyste`mediﬀ´erentielX(t) =AX(t) +B(t) admet une et une seule solution 1-p´eriodique. A (Indication :teersﬃusece´iassitndnnioruheconeCehcrossunaetmr(ealofe−Id)X0=. . .).

6.imile´rP:erianLemme de Gronwall discret Soita >0 et soient (θn)0≤n≤Net (αn)0≤n≤Nensdbromr´eslseedsxueetiuaniﬁerv´fstisiponoitaleralt θn+1≤a θn+αn, n= 0, . . . , N−1.(1) 1)Montrerparr´ecurrencesurnque n−1 X n n−(i+1) θn≤a θ0+a αi, n= 1, . . . , N.(2) i=0 x 2) On suppose quea= 1 +Lh, avec>L, h0. Montrer que 1+x≤epour toutx≥al0.D´redeedui relation (2) : n−1  X nLh n−(i+1)Lh θn≤e θ0+e αi, n= 1, . . . , N.(3) i=0 3) On poseT=N h, et on supposeαi=αpour touti. Montrer, en utilisant (3), que LT α e−1 LT max{θn,0≤n≤N} ≤e θ0+. h L

Onconside`remaintenantleproble`mediﬀ´erentielsuivant: 00 (1)X(t) =f(t, X(t)), t∈[t0, t0+T], x(t0) =X , 0d1d d ou`X∈Rposensup´e.Odonntseuqef∈C([t0, t0+T]×R,Riﬁerv´et)viusnoitidnocaleetna: d (L) IlexisteL >0 tel quekdZf(t, Z)k ≤L ,∀Z∈R,∀t∈[t0, t0+T].

Onconside`reunesubdivisionuniforme`aNpoints (donc de pas+ 1h=T /N) de l’intervalle [t0, t0+T], d eta`partird’unedonn´eeinitialeX0∈Ron construit une suite ﬁnie (Xn,0≤n≤Ncselrap)ame´h d’Euler. 1) SoitXune solution de (1) sur [t0, t0+T]. On note

00 M2= max{kX(t)k;t∈[t0, t0+T]}.

1.1) Pour tout 0≤n≤N−1, on pose

n=X(tn+1)−X(tn)−hf(tn, X(tn)). Montrer que M2 2 knk ≤h ,∀0≤n≤N−1. 2 1.2) On noteen=X(tn)−Xnl’erreur au tempstn=t0+nh. Etablir que ken+1k ≤(1 +hL)kenk+knk ∀0≤n≤N−1. 0 1.3)End´eduireunemajorationdekenken fonction dekX−X0k, n, het deM2. h d 2)Onconsid`erelafonctionX: [t0, t0+T]→Riepa´eﬁnauxdorcercomrapenﬃateeunitn t−tn h h X(t0) =X0, X(t) =Xn+ (Xn+1−Xn) sit∈[tn, tn+1]. h 2.1) Montrer qu’il existe une constanteK >tedei0dne´epdnnahtelle quekXnk ≤Kpour tout 0≤n≤N. h Montrer quekX(t)k ≤Kpour toutt∈[t0, t0+T]. On note ∂f 0 L= max{ k(t, Z)k;t0≤t≤t0+T ,kZk ≤K}∙ ∂t 2.2) Montrer qu’il existe une constanteK1>nadnedetnd,ipe´e0h, telle qu’on ait h0h k(X) (t)−f(t, X(t))k ≤K1h,∀t∈[t0, t0+T]\ {t0, . . . , tN}. 2.3)Ende´duirequ’ilexisteuneconstanteK2>,0ni´dpeneadtnedeh, telle que h L(t−t0) 0 kX(t)−X(t)k ≤ekX−X0k+K2h ,∀t∈[t0, t0+T]. Indication:utiliserlelemmedeGronwall(versioninte´grale)surchaqueintervalle[tn, tn+h], et la question 1.3).

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