UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES

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Niveau: Supérieur, Bac+5
UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES 2007-2008 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SEMAINE 3 Exercices d'analyse. 1 - Etudier les suites definies, pour n ≥ 1, par un = ∑n k=1 1 n2+k , vn = ∑n k=0 1 Ckn . 2 - Etudier les suites definies par: un = ∫ 1 0 ex n+1+x dx , vn = ∫ pi 4 0 sinn x dx , wn = ∫ pi 2 0 sinn x dx. 3 - Soit (un)n?IN une suite reelle. Montrer: a) Si (u2n) et (u2n+1) convergent vers , alors (un) converge vers . b) Si (u2n), (u2n+1) et (u3n) convergent, alors (un) converge. 4 - Soient (an) et (bn) deux suites de reels strictement positifs. On suppose qu'il existe un entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0, on ait an+1 an ≤ bn+1 bn . 1) Montrer : (i) Si (bn) converge vers 0, (an) converge vers 0. (ii) Si (an) tend vers +∞, (bn) tend vers +∞. 2) Montrer que si | un+1 un | tend vers , ?]0, 1[, alors la suite reelle (un) tend vers 0 (Regle de D'Alembert pour les suites).

universite d'orleans capes

xn ?

fraction irreductible representant

axe de symetrie de ?

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Extrait

´ ´ UNIVERSITE D’ORLEANS ´ ´ DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

Exercices d’analyse.

CAPES 2007-2008 SEMAINE 3

P P n n 1 1 1 -ssleerdi´esdteuiop,seinﬁEutrun≥1, parun=2,vn=k. k=1n+k k=0C n RxR R π π 1 e4n2n 2 -tius´dseeiduselrr:Etnieﬁpaesun=vdx ,n= sinx dx, wn= sinx dx. 0n+1+x0 0

3 -Soit (unlleeMoe.rentr:r´teuiesun) n∈IN a) Si (u2n) et (u2n+1) convergent vers`, alors (un) converge vers`. b) Si (u2n), (u2n+1) et (u3n) convergent, alors (un) converge.

4 -Soient (an) et (bnr´delseesuuxesited)pposequ’ifs.Onsuneptsotitsirtcmenuetsixeli entiern0tel que, pour toutn≥n0, on ait

an+1bn+1 ≤. anbn

1) Montrer : (i) Si (bn) converge vers 0, (an) converge vers 0. (ii) Si (an) tend vers +∞, (bn) tend vers +∞. un+1 2) Montrer que si| |tend vers`, `∈]0,ll(e´reeiuet,[1rolasalsun) tend vers 0 (gleR`e un de D’Alembert pour les suiteslrh’pytoanaﬀbiil-outPe).h`ese?

inα 5 -Soitα∈re`dselecno,isnoIRitsu(esun),(vn),(wneﬁd´)rpaesniun=e ,vn= cosnα, wn= sinnαpourn∈IN. a) Montrer que (un) est convergente dans C si et seulement si (vn) et (wn) sont convergentes dans IR. b) Montrer que si (wn) converge vers`dans IR on a`2(On pourra introduire sin= 0.nα et cos2nα). c)End´eduireque(wn) converge dans IR si et seulement siα≡0 [modπ]. d) Pour quelles valeurs deαla suite (vn) converge-t-elle dans IR? e) Pour quelles valeurs deαla suite (un) converge-t-elle dans C?

6 -Soitk∈[0,1[ et (unsuite complexe telle que pour tout) unen≥0 on ait n∈IN |un+2−un+1| ≤k|un+1−un| 1

Montrer que (un) converge. √ 7 -tuEsulaerdinﬁe´detirapeiu0=−1,un+1= 2+unpourn≥0.

2 (1−un) 8 -Etudier, selon les valeurs deu0perad´tenieﬁ,luiasun+1= . 1+un

u n e−1 9 -Etudier, selon les valeurs deu0peranieﬁd´teuias,lun+1).= ln( un 2 10 -,tieedr´lEatsuudiepareﬁniun+1= (un−E(un)) +E(un) pourn≥uo`0E(.e´d)engis lapartieenti`ere. 11 -Soit (unu)enusti´eerleelllteueeq um+n≤um+unpourm, n∈IN. ∗ a) Soitn, p∈que siIN . Montrern=pq+ravecq, r∈IN, on a unupur ≤+. n pn un b)Montrerquesilasuite()estminore´e,alorselleconverge.Quesepasse-t-ilsielle n n’estpasminore´e? 2 12 -ierlEtudtinuacontealtie´viba´dreitilde´efolatincnof: IR→parIe´dReinﬁf(x) =x six∈Q,f(x) = 0 six∈IR\Q. 1p 13 -Soitf:]0,1[→RI,arepnieﬁd´f(x) = 0 sixest irrationnel, etf(xsi) =x= est q q p rationneletestlafractionirre´ductiblerepr´esentantx. q a) Soitε >0, montrer que l’ensembleEε={x∈]0,1[/ f(x)≥ε}est ﬁni. b) Montrer quefest continue en tout point irrationnel et discontinue en tout point ra-tionnel. 14 -erlesapplicationsDe´etmrnif: IR→IR, continues en 0 et telles que :

∀x∈IR, f(2x) =f(x) cosx .

n xx x On pourra montrer que, pourn≥sin1, 2n(cos∙ ∙ ∙cosn) = sinx. 2 22

15 -a) Soitf:]0,+∞[→equertron.MeenctioncrIRunefoteamoj´riossnaetfadmet une limite en +∞. Quepeut-on dire sif?eeoj´rsaamsept’n b) Soitf]ednunofeioctroncsaisednte´nﬁeiusurintnrevalleouvertnonvia, b[ de IR. Montrerqu’elleadmetentoutpointunelimitea`droiteet`agauche.Limitesenaetb?

∗f(x) 16 -Soitf: IR→IR, croissante telle que la fonctiong:x7→naet.e´rciosssoitd + x Montrer quefest continue.

f(x) 17 -Soitf: IR→= 1, et pour tousIR telle que limx, y∈IR, f(x+y)≤f(x) +f(y). x x→0 a) Quelle est la limite defMontrer queen 0?fet continue et nulle en 0. b) Montrer quefennidrtIe.R´nDetoetrteuiomperivableestd´f. 18 -Soitf: IR→IR, telle que f(2x)−f(x) limf(x) = 0= 0et lim. x x→0x→0 f(2x)−f(x) a) On poseϕ(xque pour tout entier. Montrer) =n≥0 on a x P f(x)n1x 1x =f(n) +kϕ(k). x x2k2=1 2 f(x) b)End´eduirequelim=0. x x→0 ∗2n 19 -Pourn≥2 etx∈on poseIR ,Pn(x) =−1 +x+x+∙ ∙ ∙+x. + ∗ a) Montrer quePnunuae´ozreuqinxn∈IR . + b) Montrer que (xn)n≥2te.steonvergenastneect´dceorsi n+1 c) Montrer que (x n)n≥2Quelle est sa limite?est convergente. d) Montrer que (xn)n≥2a pour limite 1/2. 1 e) On posexn= +εn. Montrerque (n+ 1)εna pour limite 0. 2 1−n−2 f)End´eduirequexn− ∼2 . 2 +∞ √ 2 20 -Etudier la fonctionfde´aprnﬁeif(x) =x+x+ 1.Etudier les branches inﬁnies de sacourberepre´sentativeΓdansunrepe`reorthonorm´eetlatracer.Montrerqueladroite 1 d’´equationx=−estudesynaxeirde´mteΓe. 2 1 21 -a) Etudier la fonctionsf:x7→xe. Etudierles branches inﬁnies et tracer sa courbe x repre´sentative. q x−1 b)Meˆmesquestionspourx7→x. x+1