Mathématiques brevet de technicien supérieur

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Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2005 - groupement A Exercice 1 - Spécialités CIRA, Électronique, Électrotechnique, Génie optique et TPIL (sur 9 points) 1. Soit la fonction numérique g déﬁnie sur [0;pi] par g(t) = (1 + cos2 t) sin2 t. (a) Calculons g?(t) : g?(t) = ?2 cos t sin t? sin2 t+ (1 + cos2 t)? 2 sin t cos t = 2 sin t cos t(? sin2 t+ 1 + cos2 t) = 2 sin t cos t(cos2 t+ cos2 t) = 4 sin t cos3 t (b) Sur [0;pi], la fonction sinus est positive, par conséquent g?(t) est du signe de cos t. Si t ? [ 0, pi2 ] : g?(t) > 0 donc g est strictement croissante sur [ 0, pi2 ] Si t ? [pi 2 , pi ] : g?(t) 6 0 donc g est strictement décroissante sur [pi 2 , pi ] 2. (a) Dans cette question, on a : f(t) = 13 sur [ 0; 16 [ et f(t) = ?16 sur [1 6; 1 2 ] .

c1 en m1

x1 ?

coordonnées du point m1

vecteur directeur de la tangente

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Publié par	profil-shawyag-2012
Nombre de lectures	44
Langue	Français

Extrait

9
2 2g [0;…] g(t)=(1+cos t)sin t
0g (t)
0 2 2g (t) = ¡2costsint£sin t+(1+cos t)£2sintcost
2 2= 2sintcost(¡sin t+1+cos t)
2 2= 2sintcost(cos t+cos t)
3= 4sintcos t
0[0;…] g (t) cost
h i h i… …0t2 0; g (t)>0 g 0;
2 2
h i h i… …0t2 ;… g (t)60 g ;…
2 2
• • • ‚
1 1 1 1 1
f(t)= 0; f(t)=¡ ;
3 6 6 6 2 • ‚
1 1
f ¡ ;
2 2
f 1
1
1
€€€€
2
-1 15 2 1 1 1 1 1 1 2 5
- €€€€ - €€€€ - €€€€ - €€€€ - €€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€€€
6 3 2 3 6 6 3 2 3 6
1
- €€€€
2
-1
f
Z T
21
a = f(t)dt0
TT ¡
2
Z T
22
= f(t)dt
T 0" #? ¶Z Z 1¿
21
= 2 ¡¿ dt+ (¡¿)dt
20 ¿
• ¶ ? ¶‚
1 1
= 2 ¡¿ :¿ +(¡¿): ¡¿
2 2
= 0
signetation1.ci-dessous1:lat:repr?senstrictemenoptiquelasurestdonce,,dede(a)?riosurp?lectronique,de(surdiqueSi?riotep:estusfonction.laFplus,fonctionDecetteordonn?es.AdesSpl'axed?croissan?CIRA,orthnique,rappTPILparoinsym?trielalaum?riquet.utilisantendoncalleSurterv:l'inpsurcons?queneestcourbdelaouriertracerlaeutonpquestion,onDans,2.fonctionExercicela-de?cialit?sparit?telatecestvdoncA?lectrotec.G?nieMath?matiqueset-:brevpetts)surSoitdefonctionetntecd?niehnicienparsupsur?rieurcroissansurstrictemensession(a)2005Calculons-(b)group,emenfonctiontsin:estaositiv(b)parCalculonsSilestcodeeciendutson1obtienn>1
Z T
22 2…
a = f(t)cos(2…nt)dt ! = =2…n
TT T¡
2
Z T
24
= f(t)cos(2…nt)dt
T 0" #? ¶Z Z 1¿
21
= 4 ¡¿ cos(2…nt)dt+ (¡¿)cos(2…nt)dt
20 ¿
" #
1? ¶• ‚ • ‚¿
21 sin(2…nt) sin(2…nt)
= 4 ¡¿ +(¡¿):
2 2…n 2…n0 ¿
• ¶ ‚
2 1
= ¡¿ sin(2…n¿)¡¿[sin(n…)¡sin(2…n¿)]
n… 2
• ¶ ‚
2 1
= ¡¿ sin(2…n¿)+¿sin(2…n¿)
n… 2
1
= sin(2…n¿)
n…
n>1 b =0 fn
+1X
S(t)=a + (a cos(2…nt))0 n
n=1
+1X 1
S(t)= sin(2…n¿)cos(2…nt):
n…
n=1
+1X12 2 2 2E =a + a +bh 0 n n2
n=1
a =0 a a0 1 2
1 1
a = sin(2…¿) a = sin(4…¿)1 2
… 2…
• ‚ • ‚
1 1 1 1 12 2 2 2 2E = sin (2…¿)+ sin (4…¿) = sin (2…¿)+ sin (4…¿)h 2 2 22 … 4… 2… 4
sin(2X)=2sinXcosX
2 2 2 2sin (4…¿)=[2sin(2…¿)cos(2…¿)] =4sin (2…¿)cos (2…¿)
2E
h
• ‚
1 12 2 2E = sin (2…¿)+ sin (4…¿)h 22… 4
£ ⁄1 2 2 2= sin (2…¿)+sin (2…¿)cos (2…¿)
22…
£ ⁄1 2 2= sin (2…¿) 1+cos (2…¿)
22…
plus,etcarcalculons:;:que,saitpaire.Ona:saitOn:aadoncet:fonctional,arsevP:que?crireoneutDepouronondoncdonc:car:obtientPPdeOnuleestformlalaouronson?criv(a)Rempla?onsdans23.t=2…¿
£ ⁄
2 2g(t)=g(2…¿)= 1+cos (2…¿) sin (2…¿)
12E = g(2…¿)h 22…
…
1: (b) g(t) t=
2
2E
h
… 1
2…¿ = ¿ =
2 4
questiona:doncmaximestamaximD'apr?sumpp:ouronosonslaPest:um;ourOn,doncbienl'expression4.ard'o?cons?quent,P(b)3.9
p P0 0
ˆ !p p
16 2… 16 1 3 8 8 3¡i
3p = e = ¡ ¡i =¡ ¡i0
9 9 2 2 9 9
P0
ˆ !p
8 8 3
P ¡ ;¡0
9 9
ˆ !p? ¶
16 8 8 3
P ;0 P ¡ ;+1 2
9 9 9
2¡k 2X (t+2¡k¡j)jR (t) = 3 (¡1)0 j! (3¡j)!
j=0
• ‚
2 2 2(t+2) (t+1) (t+0)0 1 2= 3 (¡1) +(¡1) +(¡1)
0! 3! 1! 2! 2! 1!
• ‚
1 1 12 2 2= 3 (t +4t+4)¡ (t +2t+1)+ t
6 2 2
1 12R (t)= t ¡t+0
2 2
M (t) C t2[0;1]1 1
8 4 2> x (t)= (¡6t +6t+1)< 1
9p ? ¶
8 3 1>: y (t)= t¡1
9 2
8
4 8> 0< x (t)= (¡12t+6)= (¡2t+1)1 9 3p
8 3> 0: y (t)=1 9
ordonn?esourDoncp(a)t,:sonetl'arcoindeoin4latestsariationsts)desduTest:coduLesson(a)V2.Les:pttobtienoinon1.faits,L'axecalculspoustT:Exerciceles1ordonn?es-pSpt?cialit?tIRIST(b)(suroirpgure.Oncoobtiendest,oinparsond?riv:ation(c):coableauordonn?esvduconjoinp:oint1t 0 12
0x (t) + ¡1 0
10
9
x (t)1
4 4
9 9
0y (t) + +1
p
¡4 3
9
y (t)1 0p
¡4 3
9
M (0)1
8
ˆ ! 4p >< x (0)=14 4 3 9 pM (0) ;¡1 4 39 9 >: y (0)=¡1
9
8 ? ¶
1 10>? ¶? ¶ x =< 11 10 2 9? ¶M ;01 1>2 9 y =0: 1
2
8
ˆ ! 4p >< x (1)=14 4 3 9pM (1) ;1 4 3>9 9 : y (1)=1
9
? ¶
0¡¡! ¡¡! x(t)
V(t) V(t) 0y (t)
M(x(t);y(t))
C M (0)1 1
0 1
8? ¶
0¡¡! ¡¡!x (0) B C31 pV(0) =V(0)@ A0 8 3y (0)1
9
C M (1)1 1
0 1
8? ¶ ¡0¡¡! ¡¡!x (1) B C1 p3V(1) =V(1)@ A0 8 3y (1)1
9
¡¡! ¡¡¡¡!
V(0) OM(0)
0 1 0 1
8 4? ¶ ? ¶
0¡¡! ¡¡¡¡! x (0) x (0)1 B C B C3 91 p pV(0)¢OM(0)= ¢ = ¢@ A @ A0 8 3 4 3y (0) y (0)11 ¡
9 9
puisqueDeun:?estqueent?ptede(c)ecteurLedevm?meecteurttangenordonn?eslaordonn?esdevdirecteurunecteurOnestEnnorthogonalpuisqueauonvlaecteurpuisquevtunenDoncv.esttcooinecteurpleaufa?on,carvleursaitpro(b)duit:scalairedirecteurestlan:ulobtien:fa?on,etangencourbtelaDeco:5sonm?meoinladudeestdirecteur:ecteurlaLes?tangenteˆ !ˆ !p p? ¶? ¶
¡¡! ¡¡¡¡! 8 4 8 3 4 3
V(0)¢OM(0)= + ¡ =0
3 9 9 9
¡¡! ¡¡¡¡!
V(1) OM(1)
¡¡¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡!
OM (t)=R (t)OP +R (t)OP +R (t)OP2 0 1 1 2 2 3
ˆ ! ˆ !p p? ¶
16 8 8 3 8 8 3
P ;0 P ¡ ;+ P ¡ ;¡1 2 3
9 9 9 9 9
M2
? ¶ ? ¶? ¶ ? ¶
1 1 16 1 8 1 82 2 2x (t)= t ¡t+ + ¡t +t+ ¡ + t ¡2
2 2 9 2 9 2 9
4 8 42x (t)= t ¡ t+2
3 3 9
0 0 0M M z z M
2…M r O 3
2… ? ¶
i 2… 2…0 3z =e z = cos +isin z
3 3
ˆ !p
1 30z = ¡ +i z
2 2
0M M
0 0 0M(x;y) M (x;y )
0z z
0 0 0z =x+iy z =x +iy
ˆ !p
1 30 0x +iy = ¡ +i (x+iy)
2 2
p8
1 3> 0< x =¡ x¡ y
2 2p
> 3 1: 0y = x¡ y
2 2
calculs:pecsonDoncet:lesvlesaque:oin,obtienaoinOnl'expression(a)Si3.Engure.s?parelaobtienoirt:talorsecteurs,du(c)deuxSiremplaceVte(d)etpd?monoinm?thotsconsid?rannaux.duetpartiesd'angleetet:onorthogonaux.tonpTouronco:ordonn?esv:planorthogo-tstrepcentdeOntdansetpr?c?denrotation:laquepartrerson(b)deourl'imagedeestM?meetneettalorsl'abscisselesOnaxeslessir?ellesetimaginaires,etonecteurstdepcestdeux:pobtienoinfaits,tsoussonDonct,::vtetsondeuxDoncd'axesdeuxcomplexeetles6deux0M C M (x (t);y (t)) M1 1 1 1 1 1
0 0 0r M (x (t);y (t))1 1 1
p8
1 3> 0< x (t)=¡ x (t)¡ y (t)1 11 2 2p
> 3 1: 0y (t)= x (t)¡ y (t)1 11 2 2
8 " #p p• ‚ ? ¶
> 1 4 3 8 3 1 0 2> x (t)=¡ (¡6t +6t+1) ¡ t¡1< 2 9 2 9 2
" #p p• ‚ ? ¶
> 3 4 1 8 3 1 0 2> y (t)= (¡6t +6t+1) ¡ t¡ 1: 2 9 2 9 2
8
4 8 4> 0 2< x (t)= t ¡ t+1 3 3 9p p p
4 3 8 3 4 3> 0 2: y (t)=¡ t + t+1 3 9 9
‰
0x (t)=x (t)21
0y (t)=y (t)21
M (t) C M (t) C1 1 2 2
I
Z 1
0I = ¡y (t)x (t) dt1 1
0 pZ ? ¶
1 8 3 1 8
= ¡ t¡ £ (¡2t+1) dt
9 2 30
pZ 1 64 3 1
= £ (2t¡1)(2t¡1) dt
27 20 pZ 1 32 3 2= (2t¡1) dt
270p p p• ‚1 £ ⁄32 3 1 16 3 32 33 3 3= (2t¡1) = (1) ¡(¡1) =
27 6 81 81
0
3 p
8 3
I M (0)M (1)=1 1
9
h c
p
3
h=c£
2
s
ˆ !p p p p2
1 1 3 1 8 3 3 16 32s= £c£h= £c £ = £ £ =
2 2 2 2 9 2 27
p p p
32 3 16 3 16 3
3£ + =
81 27 9
3;08
t?colaC'estcourbimagee,imageilTfautdemdeultiplierestparLesurfaceonl'inect?-agraleinlacoetunaarrondiejoutertl'aireoindediretrianglet?quilat?ralcalculsinDonct?rieuradepcot?ladecourbl'aireestcalculer,our,Poin(b)Si:vt?gralecenl'indeCalculons7t?rieurein(a)t.pOr,:on?sait:queobtienlafaits,hauteurous4.:d'un:trianglev?quilat?ralordonn?esdeourc?t?donc.rotationestL'airedonn?elapare:t?rieurel'arcpardesontordonn?esoindepl'arcletbienpDoncestsondonaireladoncaleurestau:ti?meest(d)l'arcdu.poin1 …
p
16 3
9 …0;98
…
P2
1
C2 M H1L1
P1
PO 41
M H0L1C3
P P0 3
aonsedisque:estest.?galeconral'appror?pded'unonOnDo:?tr?sdoncximationtL'airecumen(c)yv8enable.11
1 0y (t)+y(t)=0
200
¡200t!(t)=K:e k2R
0!(t)=! ! (t)=00
(1)
1
£0+! =146 ! =1460 0
200
!(t)=146
¡200t!(t)=K:e +146 k2R
0!(0)=150 !(0)=K:e +146=150 k =4
¡200t!(t)=4e +146
¡200tlim e =0
t!+1
! = lim !(t)=1461
t!+1
!(0)¡! =41
¡200t¡200t 2e!(t)¡!1 4e= =
! 731 146
1!(t)¡!1
<
100!1
2 1¡200te <
73 100
73¡200te < ¡200t<ln0;365
200
Il:adirea?oinc'estmemte,l'?quationconstan:d'une:formehomog?nelaOndoncsolutionsoussolutioncompl?teIll'?quationde.AOnsolutionafautdoncg?n?ralebienec::obtiendeon?;n?raledonn?etl'?quationuedansdoncdecompl?teRempla?onssolutionparPt:donces

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