FESIC mathematiques 2000

Concours d’entr´ee FESIC1. Soit f lafonctiond´efiniepar:1 1f(x)=− x+1+ .3 |x|+1Dsonensembleded´efinitionet C sacourberepr´esentative.∗VraiFaux On a: D=R .1VraiFauxLadroite∆d’´equation y=− x+1estasymptote`aC.3VraiFauxLacourbe C estau-dessusde.1 1VraiFauxPourtoutx>−1,ona: f(x)= − .2(x+1) 32.Soit f lafonctiond´efiniepar:1 √f(x)= − x.x−1VraiFauxLarestrictionde f `al’intervalle[0;1[estunebijectionde[0;1[sur −1;+∞[.VraiFauxLarestrictiondef`al’intervalle]1; +∞[admetuner´eciproqued´efiniesurRet`avaleursdans]1; +∞[.1Vrai Faux L’´equation1+ √ =xadmetuneuniquesolution.xVrai Faux Pour touta<0, l’´equation f(x)=a admet deux solutionsdistinctes.3.Soitflafonctiond´efiniesurRparf(x)=xsinx,Csacourberepr´esentativeet ladroited’´equation y=x.VraiFauxLafonction f v´erifiel’´equationdiff´erentielle y +y=2cosx.VraiFauxLacourbeCetladroite ontuneinfinit´edepointscommuns.VraiFauxLadroite esttangente`a C enchacundeleurspointscom-muns.VraiFauxLadroite∆ d’´equation y=−xesttangente`aC.4.Soit f lafonctiond´efiniepar∆∆∆∆Concours FESIC 2f(x)=ln(ln|x|),Dsonensembleded´efinitionet C sacourberepr´esentative.∗VraiFaux On a D=R .1VraiFauxPourtout x∈D,ona:f(x)= .|x|ln|x|Vrai Faux Une ´equation de la tangente `a C au point d’abscisse e estx−ey= .eVraiFauxPourtousr´eels aet bv´erifiantb>ae,ona:f(b)−f(a) 1> .b−a e5. Pourentier naturel, n1,onconsid`erela fonction f d´efiniesur I =n]−1;+∞[parnf (x)=x ln(1+x).netond´esignepar C lacourberepr´esentativede f .n ...