FESIC mathematiques 2000

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Concours d’entr´ee FESIC 1. Soit f lafonctiond´eﬁniepar: 1 1 f(x)=− x+1+ . 3 |x|+1 Dsonensembleded´eﬁnitionet C sacourberepr´esentative. ∗VraiFaux On a: D=R . 1 VraiFauxLadroite∆d’´equation y=− x+1estasymptote`aC. 3 VraiFauxLacourbe C estau-dessusde. 1 1 VraiFauxPourtoutx>−1,ona: f(x)= − . 2(x+1) 3 2.Soit f lafonctiond´eﬁniepar: 1 √ f(x)= − x. x−1 VraiFauxLarestrictionde f `al’intervalle[0;1[estunebijectionde[0; 1[sur −1;+∞[. VraiFauxLarestrictiondef`al’intervalle]1; +∞[admetuner´eciproque d´eﬁniesurRet`avaleursdans]1; +∞[. 1 Vrai Faux L’´equation1+ √ =xadmetuneuniquesolution. x Vrai Faux Pour touta<0, l’´equation f(x)=a admet deux solutions distinctes. 3.Soitflafonctiond´eﬁniesurRparf(x)=xsinx,Csacourberepr´esentative et ladroited’´equation y=x. VraiFauxLafonction f v´eriﬁel’´equationdiﬀ´erentielle y +y=2cosx. VraiFauxLacourbeCetladroite ontuneinﬁnit´edepointscommuns. VraiFauxLadroite esttangente`a C enchacundeleurspointscom- muns. VraiFauxLadroite∆ d’´equation y=−xesttangente`aC. 4.Soit f lafonctiond´eﬁniepar ∆ ∆ ∆ ∆Concours FESIC 2 f(x)=ln(ln|x|), Dsonensembleded´eﬁnitionet C sacourberepr´esentative. ∗VraiFaux On a D=R . 1 VraiFauxPourtout x∈D,ona:f(x)= . |x|ln|x| Vrai Faux Une ´equation de la tangente `a C au point d’abscisse e est x−e y= . e VraiFauxPourtousr´eels aet bv´eriﬁantb>ae,ona: f(b)−f(a) 1 > . b−a e 5. Pourentier naturel, n1,onconsid`erela fonction f d´eﬁniesur I =n ]−1;+∞[par nf (x)=x ln(1+x).n etond´esignepar C lacourberepr´esentativede f .n n VraiFauxPourtoutn1,lacourbeC passeparlepointdecoordonn´eesn (1; ln2). VraiFauxPourtoutn1etpourtoutx∈[0; 1],onaf (x)f (x).n+1 n VraiFauxPourtout n1,ona f (x)=0.n Pourtout n1,ond´esignepar a lecoeﬃcientdirecteurdelatangenten `aC aupointd’abscisse1.n Vrai Faux La suite (a ) estg´eom´etrique.n n1 6.Pourtoutr´eel m,onconsid`erel’´equation(E )suivante,d’inconnuer´eellem x: 2x xe −2e −m=0. Vrai Faux L’unique valeur de m pour laquelle x=0estsolutionde l’´equation(E )estm=0.m VraiFauxPourtoutevaleurde m,l’´equation(E )admetaumoinsunem solution. VraiFauxSi −10,l’´equation(E )auneuniquesolution.m # ! Z Z Z Z ! " Z Z Concours FESIC 3 7.Onconsidere` l’´equation(E)suivante: √ sinx= 3cos2x. Vrai Faux L’´equation(E)est´equivalente`al’´equation √ √ 2(E) 3sin x+sinx− 3=0. Vrai Faux L’´equation(E)admetquatresolutionsdansR. VraiFauxL’´equation(E)admetdeuxsolutionsdansl’intervalle[−π; π]. VraiFauxL’´(E)admetdeuxdansl’intervalle[−π;0], 22π dontleproduitvaut . 9 x√ −t8.Soit F lafonctiond´eﬁniesurI=[0; +∞[parF(x)= te dt. 0 (Onnechercherapas`acalculerdirectement F.) VraiFauxLafonction F estpositiveetstrictementcroissantesurI. √ 1 VraiFauxPourtout t0,ona: tt+ . 4 x 1 5 5 −t −xVraiFaux On a: t+ e dt= − x+ e . 0 4 4 4 5 VraiFauxPourtout x∈I,ona: F(x) . 4 x ln(2t) 9.Pour,onpose: F(x)= dt. 21 t ln(2x) VraiFauxPourtoutx>0,ona: F(x)= −ln2. 2x 1 VraiFauxPourtout x∈ ;1,onaF(x)<0. 2 ln(2x) 1 VraiFauxPourtoutx>0,ona: F(x)=− − +ln(2)+1. x x VraiFauxOna: lim F(x)=ln(2)+1. x→+∞ 1 1 2 210.Onpose:I= tcos (πt)dtetJ= tsin (πt)dt. 0 0 VraiFaux On a: I >0etJ>0. VraiFauxOnaI+J=1. 1 VraiFaux On a: I −J= tcos(2πt)dt. 0 ! ! ! X X Concours FESIC 4 1 VraiFaux On a: I=J= . 2 11.Soit(a ) et(b ) deuxsuitesr´eellesd´eﬁniesparleurpremiertermen nn∈N n∈N a =2,b=4,respectivementetlesrelations,pourtoutentiernaturel n,0 0 1 1 a = (a +3b)etb = (3a +b ).n+1 n n n+1 n n 4 4 Ond esigne´ par A et B les points de l’axe orient´e d’abscisse a et bn n n n respectivement. Vrai Faux La suite u =a +b estconstante.n n n Vrai Faux La suite v =a −b estunesuiteg´eom´etriqueconvergente.n n n VraiFauxPourtout n ∈ N, les segments [A B]ontlemˆememilieu I,n n quiestlepointde(Ox)d’abscisse3. 1 1 VraiFauxPourtout n∈N,ona:a =3− et b =3+ .n nn n2 2 1 12. Soit (u ) une suite g´eom´etrique de raison et de premier termen n∈N 3 u =2.1 Pourtoutentier n1,onpose v =ln(u ).n n 2 VraiFauxPourtout n1,ona u = .n n3 Vrai Faux La suite (v ) ,estarithm´etique,deraison −ln(3).n n∈N VraiFauxPourtout n1,ona: n 1 u =u +u +···+u =3 1− .k 1 2 n n+13 k=1 VraiFauxPourtout n1,ona: n1 1 n v = (v +v +···+v)=ln(2)− ln(3).k 1 2 n n n 2 k=1 iθ13.Pourtoutr´eel θ∈[0; 2π[,onpose Z(θ)=1+e. Ona: π π i 3Vrai Faux Z =e . 3 VraiFauxpourtout θ∈[0; 2π[, Z(θ)=Z(−θ). θ θi 2VraiFauxpourtout θ∈[0; 2π[, Z(θ)=2cos e . 2# " ¨ Concours FESIC 5 θ VraiFauxpourtout θ∈[0; 2π[,arg[Z(θ)]= [2π]. 2 14.Soit(E)l’´equationd’inconnuecomplexe z: 2z −4z−5=0. VraiFauxSi z estsolutionde(E),alors z estaussisolution.0 0 Vrai Faux L’´equation(E)admetunesolutionimaginairepure. Vrai Faux L’´(E)admetdeuxsolutionsr´eelles. Vrai Faux L’´equation(E)admetexactementdeuxsolutionsdansC. 1 15.Soit a∈ ;eet(E)l’´equationd’inconnuecomplexe z: e 2z −2zln(a)+1=0. Ondesigne´ par M et N lespointsduplandontlesaﬃxessontlesracines de(E). VraiFauxLespoints M et N sontsym´etriquesparrapport`al’axer´eel (Ox). VraiFauxLespoints M et N sontsitu´essurlecercledecentreOetde rayon1. VraiFauxIln’existeaucunevaleurdeatellequeMetNsoientsym´etriques parrapport`al’origine. SoitAlepointduplandecoordonn´ees(−1;0). VraiFaux On a: AM<2. 16.Pour nentiernaturelnonnul,onnote(C )lacourbeparam´etr´eepar:n x(t)=sin(t) , y(tcos(nt) autrementdit,l’ensembledespointsM(t)decoordonn´ees(sin(t), cos(nt)), pour t∈R. VraiFauxLacourbe(C )estuncercle.1 2VraiFauxLacourbe(C )estlaparaboled’´equation y=1−2x .2 VraiFauxPourtout n1,l’axe(Oy)estaxedesym´etriepour(C ).n Vrai Faux Pour tout n 1, (C ) admet au point M(0) une tangenten parall`ele`al’axe(Oy).> > : > : > > < < > 8 8 Concours FESIC 6 17.Pour m∈R,onconsid`erelesyst`emelin´eairesuivant,`aquatreinconnues a, b, c, d: a+b−c+2d =2 2a+4b−6c+2d =0 Sm −a+b−3c−9d = −1 a−2b+5c+13d = m+2 Vrai FauxPour m = −2, le syst`eme S admet un unique quadrupletm solution. VraiFauxPourm=−2,lesyst`emeS admetuneinﬁnit´edequadruplets −2 solution,quisontdelaforme:(7−k;2k−3;k−1)ou` k∈R. VraiFauxDansl’espace,l’ensembledespointsdecoordonn´ees: x =7−k y =2 k−3 o`u kd´ecritR,estunplan. z = k VraiFauxDansl’espace, l’ensembledespointsdecoordonn´ees(x, y, z) tellesque x=7−zestunedroite. 18.Dansleplan,onconsid`ereuntriangle(ABC)etonnote: Glebarycentredusyst`eme {(A,3),(B,1),(C,1)}; Qlebarycentredusyst`eme {(A,3),(C,1)}; Rlebarycentredusyst`eme {(A,3),(B,1)}; Plemilieudusegment[BC] ; VraiFauxLesdroites(CR)et(BQ)sonts´ecantesenG. VraiFauxLepointGappartient`aladroiteAP. VraiFauxLepointGestl’imagedupointAparl’homoth´etiedecentre 1 Petderapport . 5 On suppose que les points B et C sont ﬁxes et que le point A d´ecrit π −−→ −−→ l’ensemble Edespointsduplantelsque: MB, MC = [2π]. 2 Vrai Faux L’ensemble E d´ecritpar Glorsque A d´ecrit E est unedroite parall`ele`a(BC). 19. Un auto-radio est muni d’un code de s´ecurit´econstitu´ede4chiﬀres: chacundeceschiﬀresestcomprisentre0et9;seullepremiernepeutpasˆetre nul.Lorsquelepostea´et´eenlev´edesonemplacement dansl’automobileil faut,pourler´einstaller,composerlecodedes´ecurit´e.LorsquelepremiercodeŠ € Concours FESIC 7 compos´eest inexact, il faut attendre deux minutes pour pouvoir composer un nouveau code. Si celui-ci est inexact, il faut `a nouveau attendre quatre minutespourcomposerlecodesuivantetainsidesuite,letempsd’attente ´etantmultipli´epardeux`achaquefois. Onadmetquel’onpeutrenouvelerl’op´erationautantdefoisquel’onveut etonn´eglige`achaquefoisletempsmispourcomposerlecode. VraiFauxEn24heures,onaletempsdefaireaumaximum10essais. On suppose que l’on compose les codes au hasard, sans r´ep´etition,jusqu’`a obtentionducodecorrect. VraiFauxLaprobabilit´epourquelecodenesoitexactqu’auquatri`eme 1 essaiest . 8997 VraiFauxLa probabilit´epour que le codecorrect soit trouv´eenmoins 1 de24heuresest . 900 VraiFauxLaprobabilit´epourquelecodecorrectsoittrouv´eaucoursdu 1 deuxi`emejourest . 8990 20.Onlanceunde´dontlessixfaces,num´erot´eesde1`a6,sont´equiprobables. Si le r´esultat est un nombre pair, on tire au hasard une boule d’une urne U contenant deux boules blanches et trois boules noires. Si le r´esultat est impair, ontireau hasard unebouled’une urneV qui contienttroisboules blanchesetdeuxboulesnoires. Ondesigne´ par: Bl’´ev`enement tirerunebouleblanche ; Nl’´ev`t tireruneboulenoire ; Ul’´ev`enement tirerunebouledansl’urne . Ona: Vrai Faux p(B∩U)=p(N∩U). 1 Vrai Faux p(B)= . 2 Vrai Faux p(B)=p(N). Vrai Faux p(U/B)=p U/N . ✮✮ ✭✭ ✮✮ ✭✭ ✮✮ ✭✭