ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTION SCIENTIFIQUEAnnØe 1999La prØsentation, la lisibilitØ, orthol graphe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies. Les candidats sont invitØs à encadrer, dans lamesure du possible, les rØsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d aucun document ;L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmatØrielØlectroniqueestinterditpendantcetteØpreuve.Seule ul tilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.1/4Exercice 1Partie A 0 11 1 03 3@ ASoit u l endomorphisme de l’espace vectoriel R , de matrice M = 0 2 0 dans la base canonique deR .1 1 221. Identi er: u 3u+2Id 3.R2. DØterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de u.3. L endomorphisme u est-il diagonalisable ?Partie BE est un espace vectoriel rØel de dimension n (n> 1).2u est un endomorphisme de E vØri ant: u 3u+2Id = 0.E1. On pose: v =u Id et w =u 2Id .E E(a) Identi er (v w) et en dØduire que: E =Im(v)+Ker(w).(b) Identi er vw et wv; en dØduire que: Im(w)Ker(v) et Im(v)Ker(w).(c) Montrer que: E =Ker(v)Ker(w).(d) Prouver que u est diagonalisable.2. (a) Montrer qu’il existe deux suites (a ) et (b ) telles que:n n2N n n2Nn 08n2N; u =a u+b Id (avec la convention: u =Id ).n n E EDonner les valeurs de a ; b ; a et b .0 0 1 1(b) Etablir que: 8n2N; a = 3a 2a ...
ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION SCIENTIFIQUE Année 1999
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.