Effet bilame et mecanique des microsystemes

pefav - Samuel Forest

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Effet bilame et mecanique des microsystemes Les composants constitues de plusieurs couches de materiaux differents sont tres frequents dans les systemes electromecaniques ou microelectroniques. La connaissance de leurs proprietes mecaniques est essentielle afin de leur garantir une duree de vie suffisante et d'eviter l'apparition de defauts. Ces composants sont souvent le siege de contraintes d'origine thermique dues a la difference de proprietes thermoelastiques des materiaux utilises. On envisage ici le cas elementaire du bilame constitue de deux couches possedant des coefficients de dilatation distincts. L'objet du probleme est de mettre en evidence l'effet bilame de maniere quantitative et d'en deduire ensuite quelques consequences dans le domaine des composants electroniques (microprocesseurs, etc.). 1 Comportement d'un bicouche On considere une plaque composee de deux couches de materiaux differents. La geometrie de la plaque est engendree par translation le long d'un axe 0X3 a partir d'une surface plane S dont le contour exterieur est de forme quelconque. L'epaisseur de la plaque obtenue est supposee significativement plus petite que les deux autres dimensions caracteristiques. Le reperage est cartesien orthonorme. Une vue en perspective et une section 0X10X3 du bicouche font l'objet de la figure 1. La couche inferieure constitue le substrat, d'epaisseur hs. Il est recouvert d'une couche ou film d'epaisseur hf . L'epaisseur totale de la plaque est h = hs + hf . Conformement au systeme de coordonnees cartesiennes indique sur la figure 1, l'interface entre les deux materiaux est a la cote X3 = 0.

possedant des coefficients de dilatation distincts

champ de deplacements

isotropie du probleme dans le plan ox1ox2

coefficient de dilatation thermique

condition d'interface

equations de compatibilite

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Eﬀetbilameetm´ecaniquedesmicrosyst`emes

Lescomposantsconstitue´sdeplusieurscouchesdemat´eriauxdiﬀe´rentssonttr`esfre´quents danslessyste`mes´electrom´ecaniquesoumicroe´lectroniques.Laconnaissancedeleurspropri´et´es m´ecaniquesestessentielleaﬁndeleurgarantirunedure´edeviesuﬃsanteetd’e´viterl’apparition dede´fauts.Cescomposantssontsouventlesie`gedecontraintesd’originethermiquedues a`ladiﬀe´rencedepropri´et´esthermo´elastiquesdesmat´eriauxutilis´es.Onenvisageicilecas ´ele´mentairedubilameconstitu´ededeuxcouchesposs´edantdescoeﬃcientsdedilatation distincts.L’objetduprobl`emeestdemettreen´evidencel’eﬀetbilamedemani`erequantitative etd’ende´duireensuitequelquescons´equencesdansledomainedescomposantse´lectroniques (microprocesseurs, etc.).

1 Comportement d’un bicouche Onconsidereuneplaquecompose´ededeuxcouchesdemat´eriauxdiﬀe´rents.Lage´om´etrie ` delaplaqueestengendre´epartranslationlelongd’unaxe0 X 3 a`partird’unesurfaceplane S dontlecontourexte´rieurestdeformequelconque.L’e´paisseurdelaplaqueobtenueestsuppose´e signiﬁcativementpluspetitequelesdeuxautresdimensionscaract´eristiques. Lerepe´rageestcart´esienorthonorme´.Unevueenperspectiveetunesection0 X 1 0 X 3 du bicouche fontl’objetdelaﬁgure1.Lacoucheinf´erieureconstituelesubstrat,d’´epaisseur h s . Il est recouvertd’unecoucheouﬁlmd’e´paisseur h f .L’e´paisseurtotaledelaplaqueest h = h s + h f . Conform´ementausyst`emedecoordonne´escarte´siennesindique´surlaﬁgure1,l’interfaceentre lesdeuxmate´riauxesta`lacote X 3 = 0. L’origine O durepe`reestunpointdel’interfacesitu´e loindesbordsdelaplaque.Lasurfaceinfe´rieureS,lasurfacesup´erieureetl’interfaceontpour e´quationsrespectives X 3 = − h s , X 3 = h f et X 3 =0.Ledomained’espaceoccupe´parlaplaque peutdonceˆtrenote´ S × ] − h s , h f [. On notera ∂S la ligne du bord de S et ∂S × ] − h s , h f [ la surfacelate´raledelaplaque. L’interfaceestsuppos´eeparfaite 1 ,c’est–a`–direque,danslesconditionsdechargementdu probl`eme,aucuned´ecoh´esionniﬁssurenepeuventapparaˆıtre`al’interface. Lesubstratestconstitue´d’unmat´eriauthermoe´lastiquelin´earis´eisotrope(moduledeYoung E s , coeﬃcient de Poisson ν s , coeﬃcient de dilatation thermique α s ).Lacouchesup´erieureest constitu´eed’unmate´riauthermo´elastiqueline´aris´eisotrope(moduledeYoung E f , coeﬃcient de Poisson ν f , coeﬃcient de dilatation thermique α f ).Chaquemat´eriauestsuppose´dansson e´tatnaturellorsqu’ilesta`latempe´ratureder´ef´erence T 0 . L’objectifduproble`meestdede´terminerlaformequeprendlebicouchelorsqu’onleporte a`latempe´rature T ,suppos´eetellequel’onrestedanslecontexteinﬁnite´simal.Danstoutle obl`placed´elib´er´ementdansl’hypoth`esedespetitesperturbations. pr eme, on se On adopte l’approche en contraintes et l’on recherche si un champ de contraintes internes biaxiales de la forme σ ∼ = ∼ σ s = σ 1 s 1 ( X 3 ) e 1 ⊗ e 1 + σ s 22 ( X 3 ) e 2 ⊗ e 2 pour − h s < X 3 < 0 (1) σ ∼ = ∼ σ f = σ f 11 ( X 3 ) e 1 ⊗ e 1 + σ 2 f 2 ( X 3 ) e 2 ⊗ e 2 pour 0 < X 3 < h f (2) 1 Lesdeuxcouchesme´talliquespeuventeˆtresoud´ees,braseesoucolamine´es. ´