Departement de Mathematiques de l'universite de Nice M1 Enseignement

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Niveau: Supérieur
Departement de Mathematiques de l'universite de Nice, M1 Enseignement, 2011-2012 UE 5, feuille II. Series numeriques (suite et fin). Suites et series de fonctions. I. Partiel 2011 Soit (un) une suite de nombres reels strictement positifs tels que un+1 un = 1? ? n + bn n2 pour tout entier n ≥ 1, ou ? est un nombre reel et (bn) est une suite de nombre reels bornee. 1. On considere la suite (vn) definie par vn = ln(n?un). Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, vn+1 ? vn = cn n2 . ou (cn) est une suite bornee de nombres reels. 2. En deduire que la serie ∑ (vn+1 ? vn) est convergente puis que la suite (vn) est convergente. 3. Montrer qu'il existe un nombre reel C > 0 tel que un ? Cn? . 4. Discuter en fonction de ? la nature de ∑ un. 5. Application : nature de la serie ∑ un ou (un) est la suite definie par u1 = 1 et un+1 un = n n+ 2 . pour tout n ? N?. II. Convergence simple et uniforme des suites de fonctions (fn) avec : 1.

majoration du reste donnee par le critere sur les series alternees

departement de mathematiques de l'universite de nice

serie

serie ∑

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D´epartementdeMath´ematiquesdel’universit´edeNice,M1Enseignement, 2011-2012 UE5,feuilleII.Se´riesnume´riques(suiteetﬁn).Suitesetse´riesdefonctions. I.Partiel 2011 Soit (untifiptsomeneirtcsquestelusendetiu)eer´stlsomenesbr un+1α bn = 1−+ 2 unn n pour tout entiern≥uo`1,α(ensntubrom´eeretelbn)utseusendeti´nee.enombrer´eelsbor α 1.Ocnnois`duiaseler(tevnrapeinﬁed´)vn= ln(n un). Montrerque, pour tout entiern≥1, cn vn+1−vn=. 2 n ou`(cnesunteuist)er´eels.nemorbseobnre´de P 2.End´edu(eire´saleuqerivn+1−vn) est convergente puis que la suite (vn) est convergente. C 3.el´eerbrtrerMonelixuqi’nnmotsueC >0 tel queun∼α. n P 4.Discuter en fonction deαla nature deun. P 5.lipptica:nonuratledee´saeirAun(`uountidealuse)tsriepa´eﬁnu1= 1 et un+1n =. unn+ 2 ∗ pour toutn∈N. II.Convergence simple et uniforme des suites de fonctions (fn) avec : n n 1.fn: [0,1]→R,fn(x) =x(1−x) , −nx 2.fn(x) =xe, −x2R 1 ne+x 3.hn: [0,1]→R,hn(x. Calculer) =limn→+∞hn(t)dt. n+x0

nx III.Soit la fonctionfn:R→Rnﬁeiaprd´efn(x) =. n+1 1.Montrer que la suite de fonctions (fn) converge simplement surRvers une fonctionfque l’on explicitera. 2.Montrer que la suite de fonctions (fnuniform)´convergeottunietmenestrupety[alrvdulea, b] ou`aetbstel´eelresrnombtnosxuedqseua < b. 3.La suite de fonctions (fnin)ofmre´emtnusruelle-t-egrevnocR? √ −nx IV. 1.Soitfn:R→Rﬁe´dpeinrafn(x) =nxe. Montrerque la suite de fonctions (fn) convergesimplementetuniforme´mentsurR+les graphes de. Tracerf1,f2etf3. 2−nx 2.Soitgn:R→R´eﬁniepardgn(x) =n xe. a.Montrer que la suite de fonctions (gne´mrtnemrus,inofapusamsine,tplemesimverg)conR+. Tracer les graphes deg1,g2etg3ona`troppaitseuqaltcequichangeparrq:’usea.? b.Montrer que la suite de fonctions (gne[ypsur)tcmentrrgme´uenoinvfeodetuavlltnreuoita,+∞[ aveca >0. R R 1 1 c.Calculergn(t)dtnd´eduirlemieten→+∞gn(t)dt´eit?.Malor 0 0