Corrige FESIC Concours Commun post bac S 2005

Terminale S mai 2005 Concours Fesic Correction Exercice 1 2 zz '= f(z)= .   z 2 2 22 z z x − y 2xya. Vrai : z '= f (z)= ⇔ z '= ⇔ x '+ iy '= + i .   2 2 2 2 2 z x + y x + yz b. Faux : z '∈ ¡ ⇔ 2xy= 0⇔ x = 0 ou y= 0 : M appartient à l’axe des abscisses ou à l’axe des ordonnées. 8 162 π   i 8 1+ i i4π4 c. Vrai : f (1+ i) =   = e = e = 1. [ ]     2     2 z = 0z d. Vrai : M et M’ sont confondus ssi z '= z ⇔ z = ⇔ . Il y a donc bien une seule  22z = z ⇔ z = 1z possibilité puisque 0 est interdit. Exercice 2 z = 1+ i , z = i , z = 2+ i et z = 1+ im . A J K Mz + zN Ma. Vrai : N symétrique de M par rapport à A : = z ⇔ z = 2z − z = 2+ 2i−1− im= 1+ i(2− m) . A N A M2uuuur uuuurb. Vrai : JM a pour affixe z − z = 1+ im− i= 1+ i(m−1) , NK a pour affixe M Juuuur uuurz − z = 2+ i−1− i(2− m)= 1+ i(m−1) , donc NK = JM . K Nπc. Vrai : La rotation de centre M et d’angle s’écrit z '− z = i(z− z ) . ; si K est l’image de J, on doit avoir M M22+ 2iz − z = i(z − z )⇔ 2+ i−1− im= i(i−1− im)⇔ 1+ i− im=−1− i+ m⇔ m= = 2 . K M J M1+ id. Faux : Il ne faut pas confondre le produit des complexes avec le produit scalaire… On a d’ailleurs z (z − z )= (1+ i)(2+ i−1− 2i)= (1+ i)(1− i)= 2 ; le produit z (z − z ) ne peut être nul que si z = 0 ou A K M A K M Az = z . K MExercice 3 2π πi − i1− i3 4On a : z = 2e =−1+ i 3 et t= = e . 2nπ− i nπn 4a. Vrai : t = e est un nombre réel si et seulement si = 0+ kπ ⇔ n= ...