Corrige de l'examen du novembre Probleme

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Niveau: Supérieur
Corrige de l'examen du 7 novembre 2008 Probleme 1 1.1 Exercez-vous si vous ne l'avez pas encore fait. 1.2 Soient g et A comme dans l'enonce de l'exercice. Admettons aussi l'hypothese enoncee, a savoir que [A,G?] = 1. (a) Pour montrer que CA(g) est un sous-groupe distingue, nous suivrons l'indication en adoptant la meme notation. Soulignons que beaucoup d'entre vous ont ignore la subtilite dans l'indication, ce qui a complique nettement leur tache. Soient donc x ? CA(g) et y ? G. Alors [x, y?1gy] = [x, g[g, y]] 1.1= [x, [g, y]][x, g][g,y] L'element x etant dans A, [x, [g, y]] = 1. Comme x centralise g, nous concluons que [x, y?1gy] = 1. La subtilite de l'indication est que c'est g qui est conjugue par y plutot que x. C'est le contraire de ce que la plupart de vous ont fait. Il est vrai que c'est plus naturel de conjuguer x par y puisque l'objectif est de verifier que CA(g)CG, mais cette conjugaison mene a des calculs compliques.

meme notation

theorie generale des actions de groupes

centre de cardinal

apres

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Publié par	zauj
Publié le	01 novembre 2008
Nombre de lectures	13
Langue	Français

Extrait

Corrig´edel’examendu7novembre2008 Probl`eme1 1.1Exercez-vous si vous ne l’avez pas encore fait. 1.2SoientgetAttnoassuci.edAemth`ese´esil’hypocnon,ee´mmco’´slanedde´cnonecrexe’le 0 a`savoirque[A, G] = 1. (a) Pour montrer queCA(gioatnnegrouous-tuns)esuon,e´ugnitsidepicnd’islonvruiss adoptantlameˆmenotation.Soulignonsquebeaucoupd’entrevousontignor´elasubtilite´dans l’indication,cequiacomplique´nettementleurtache. Soient doncx∈CA(g) ety∈G. Alors 1.1 −1 [g,y] [gyx, y] = [x, g[g, y]] = [x,[g, y]][x, g] −1 L’´ele´mentxta´esntnadA, [x,[g, y]] = 1. Commexcentraliseg, nous concluons que [x, ygy] = 1. Lasubtilit´edel’indicationestquec’estgquiestcojngu´uperayquotepulˆtx. C’est le contraire de ce que la plupart de vous ont fait. Il est vrai que c’est plus naturel de conjuguerx paryeu’lboejtcpiuqseu´eriﬁerqifestdevCA(g)CGam,ecsiisgam`onecttjuonesade`ensullcca compliqu´es.Apre`scesremarquessurlastrat´egie,ﬁnissonsleraisonnement. −1 y yy y Nousavonsmontr´eci-dessusque[x, g] = 1 pour touty∈G. Or, [x, g] = [x ,g] . Par −1 y conse´quent[gx ,ermerest’aut.End]1=egujnde´uot,soctuxcentraliseg. Or,Ae´attn distingu´edansGtoutconjugu´ede,xappartietna`A. Ceci est suﬃsant pour conclure que CA(g)CG. (b)Puisqu’eng´ene´rall’inclusion {[g, a] :a∈A} ⊂[g, A], estvraie,ilsuﬃtdev´eriﬁerquechaque´el´ementdugroupe[g, A] se met sous la forme [g, a] pour un certaina∈A. Lacl´eduraisonnementestencoreunefoislesidentite´sdecommutateurdupoint1.1.Notons d’abord que pour touta∈A, −1−1 [g, a] =[g, a]. En eﬀet, −1 −1−1a−1 1 = [g, aa] = [g, a][g, a] =[g, a][g, a]. Ladernie`ree´galite´utiliselacommutativit´edeA. D’apr`esleparagraphepr´ec´edent,commelegroupe[g, Ad´artpesontinieﬁ]dn´rneegelspera commutateurs [g, a] avecaantcrivd´eA[tnede´em´tlet,uog, A] est le produit d’un nombre ﬁni de commutateurs de la forme [g, ala`aesqupo´erendatﬃusrolnoitsli,reﬁied´vereuq]P.uorr le produit de deux commutateurs [g, a1] et [g, a2] est toujours dans [g, A]. En eﬀet, une fois cetteconclusionatteinte,laconclusionpourunproduitarbitraires’ensuitd’uner´ecurrencesur lenombredecommutateursdansl’´ecriture.Or, a1 [g, a1][g, a2] = [g, a1][g, a2] =[g, a2a1]. Notonsquedansleraisonnement,nousn’avonsutilise´quelacommutativit´edeAet le fait que g∈NG(Aiesnntocme)pnaorratgnreapthe(eomutunneqcseirutrapien´e`vcedre)es.Lisraneon enfaitquesouscesdeuxhypoth`eses,l’application a−→7[g, a] estunendomorphismedugroupeabe´lienA. (c) Soient maintenanty∈Get [g, a]∈[g, A]. Alors y yy [g, a[] =ag ,] = [g[g, y], a[a, y]] [g,y] = [g, a[a, y]] [[g, y], a[a, y]] = [g, a[a, y]].