reesDssssDÉPARTEMENT DU PREMIER CYCLE–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––DEVOIR DE SYNTHÈSE DE PHYSIQUE 23 Juin 2005 Durée : 3 heures (09h -12h) Tout do cument est i nterdit. T oute cal culatrice d’ un mo dèle au tre que ce lui aut orisé, est i nterdite. Le s é lèves so nt pr iés : d 'indiquer le ur nom et groupe, le nombre d’intercalaires, so igneusement numérotées, d ’écrire tr ès li siblement, d e s oigner la ré daction, l’ orthographe et la pr ésentation m atérielle ; d'indiquer ou d'énoncer les lois ou principes utilisés, de justifier les résultats par des explications (claires, précises, concises) in dispensables à un e b onne co mpréhension d e la so lution proposée ; d e met tre en évidence l es résultats li ttéraux ou nu mériques (l es p rincipaux étant encadrés en c ouleur autr e que rouge).BARE ME APPRO XI MATIF: I : 8 pts ; II : 6 pts ; III : 6 pts–––––––––––––––––––– Problème I : Et ude d’u n capte ur capacitif zUn capteur capacitif est formé d’un condensateur aplan qui est constitué de deux armatures planes et SBparallèles de forme cylindrique de rayon de base a et e Udont les dimensions latérales sont très supérieures à la distance e qui les sépare. L'ar mature (B) est portée SAz'au potentiel V . L'armat ure (A) est portée au poten-BFigure 1atiel V : la différence de pot entiel est U = ...
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DÉPARTEMENT DU PREMIER CYCLE
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
DEVOIR DE SYNTHÈSE DE PHYSIQUE
23 Juin 2005 Durée : 3 heures
(09h -12h)
Tout do cument est i nterdit. T oute cal culatrice d’ un mo dèle au tre que ce lui aut orisé, est i nterdite. Le s é lèves so nt pr iés :
d 'indiquer le ur nom et groupe, le nombre d’intercalaires, so igneusement numérotées,
d ’écrire tr ès li siblement, d e s oigner la ré daction, l’ orthographe et la pr ésentation m atérielle ;
d'indiquer ou d'énoncer les lois ou principes utilisés, de justifier les résultats par des explications (claires, précises,
concises) in dispensables à un e b onne co mpréhension d e la so lution proposée ;
d e met tre en évidence l es résultats li ttéraux ou nu mériques (l es p rincipaux étant encadrés en c ouleur autr e que rouge).
BARE ME APPRO XI MATIF: I : 8 pts ; II : 6 pts ; III : 6 pts
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Problème I : Et ude d’u n capte ur capacitif
z
Un capteur capacitif est formé d’un condensateur
aplan qui est constitué de deux armatures planes et S
B
parallèles de forme cylindrique de rayon de base a et e U
dont les dimensions latérales sont très supérieures à
la distance e qui les sépare. L'ar mature (B) est portée S
A
z'au potentiel V . L'armat ure (A) est portée au poten-B
Figure 1a
tiel V : la différence de pot entiel est U = V -V >0 (voir figure 1 a).A A B
La charge totale sur la face interne de A est égale à Q etsa charge surfa-A
cique est notée . La charg e totale sur la face interne de B est éga le à Q et A B
sa charg e surfacique est notée .B
A – Vide entre les armatures
On considère que le milieu entre les armatures est le vi de.
1) Donne r et justifier la topographie du champ électrostatique et des
équipotentielles entre les plaques (pour cela on s’aid era d’un schéma re-
présentant ce condensateur dans un plan de coupe passant par l’a xe z’z ;
on choi sira comme origine de l ’a xe z’z l e centre de la su rface S ).A
2) Déterminer et justifier la relation qui exi ste entre et .A B
3) Calcule r le champ électrostatique E entre les plaques A et B en utilisant
le théorème de Gauss (on considérera que les armatures sont des
conducteurs d’épaisseur finie).
4) Calcule r la di fférence de potentiel V - V en fonction de , e et A B A 0
5) En déduire la capacité du condensateur plan.
6) Déterminer le potentiel V(z) entre les plaques à partir de l'équation de
La place V+ / = 00
T
SVP .../...e
g
e
t
2 DS2 PH YSIQUE
7) Retrouver à partir du résultat de la question 6) l'expression de V -VA B
trouvée que stion 4)
8) Représenter et déterminer les forces électrostatiques respectivement
uappliquées au x a rmatures (A) et (B) en fonction de a, e, o, U e t .z
B – Diélectrique entre les armatures
On considère maintenant que le milieu situé entre les armatures est consti-
tué d’un conducteur purement ohmique (C) de très faible conductivité , de
forme cylindrique d’ épaisseur e et de rayon de base a. On admet aussi que
ce milieu a une permittivité diélectrique et qu'il est suffisamment souple
pour se déformer.
Les surfaces de base (S ) et (S ) sont toujours reliées au générateur qui A B
impose la d.d.p constante V – V = U > 0. El les sont recouvertes d’une A B
fine couche d’un conducteur de forte conductivité (donc de résistivité
faible).
1) Déterminer et justifier la géomét rie de s lignes de courant .
2) Expr imer, en fonction de I, la densité de courant à la cote z. En dé-j
duire la résistance R offerte par le bloc médiocr e conducteu r.
3) Retrouver R en associant de façon convenable des conducteurs
élémentaires. On utilisera une association de résistances élémentaire
en para llèle.
4) Retrouver R à parti r de la puissance Joule volumique dP/d
z
Par suite de déformations mé-
MO 11caniques, la surface de base (S ) B
prend la forme d’une calotte sphé-
e erique de très grand rayon de cou rbure e'1
R (voir figure 1b).
- Le bord de (S ) est tou jours à la mê me A MO
distance e de (S ). B
a r
- La OO est égale à e .1 1
- La distance MM entre deux points situés à la distance r de l’axe z est 1 Figure 1b
égale à e ’.
5) Mo ntrer que e’= MM peut s’exprimer sous forme approchée par 1
2e−e r 1
e'≈e 1 2a
6) Dessiner "schématiquement " 5 surfaces équipotentielles bien repar-
ties entre les deux armatures et 5 lignes de courant .
7) Déterminer, dans le cadre de l’app roximation de la question 5) , la ré-
sistance R en associant de façon convenable des résistances élémen-
taires dR (pour simplifier les calculs, on fera l’h ypothèse que les
lignes d e champ sont tout es verticales).e
e
An née 20 04-2005 3
8) Le bloc décrit ci-d essus constitue donc un mauvais condensateur
constitué d'un matériau non parfaitement isolant, de permittivité di-
électrique .
8.1. Déterminer la charge surfacique de l’a rmature (A) à la distance r
(on fera l’h ypothèse que les lign es de cham p sont toute s verticales).
8.2 . Dét erminer la charg e totale de l’a rmature (A).
8.3 . En déduire la capacité C de ce mauvais condensateur en fonction
de r , a, e, e , .1
9) Sachant que la déformation de S est caractérisée par l’écart (e-e ) = B 1
e/10, exprimer la capacité C du condensateur déformé en fonction de
la capacit é C du condensateur non d éformé.0
10)Donne r le schéma électrique équivalent de ce condensateur en ré-
gime de signaux alternatifs et déterminer son impédance complexe.
Problème II : Condensateur à ar mature m obile
On supposera dans ce problème que les effets de bord sont négligeables.
On pourra utiliser directement, sans la démontrer, l’expression de la capa-
cité du cond ensateur plan. Les parties II.1 et I I.2 sont indépendantes.
Deux condensateurs plans ayant des armatures de même surface S, sont
branchés en parallèle. La distance de leurs armatures est e et e/2 respecti-
vement ( figure 2a). On les relie à un gén érateur fournissant la tension E par
l’inte rmédiaire d’un int errupteur.
A A
B B(C ) (C ) (C ) (C )1 2 1 2
e/ ee e
E E2
Fig ure 2a Figu re 2b
II.1) Les condensateurs ayant été chargés, l’int errupteur est basculé en
A.
1) Déterminer les charges Q et Q des condensateurs et l’én ergie électro-1 2
statique W de l’en semble.i
TSVP.../...W
f
w
w
f
w
4 DS2 PH YSIQUE
Un opérateur déplace de façon réversible l’a rmature supérieure du
deuxième condensateur jusqu’à ce que leur écartement devienne égal à e
(figure 2b) .
2) Déterminer les charges Q’ et Q’ des deux condensateurs dans la posi-1 2
tion finale.
3) Déterminer la force que doit exercer l’opé rateur sur l’armat ure déplacée
pour une position int ermédiaire que lconque (écartement x).
4) En d éduire, par int égration, le travail de l’op érateur.
5) R etrouver ce résultat e n faisant un bilan én ergétique.
II.2) Cett e fois, le générateur n’e st pas débranché (l’interrupteur reste en
ème B). L’o pérateur déplace de façon réversible l’armature supérieure du 2
condensateur jusqu’à ce que leur écartement devienne éga l à e .
1) Calcule r la force que doit exercer l’opé rateur sur l’a rmature déplacée.
2) En d éduire, par int égration, le travail de l’op érateur.
3) Déterminer l’énergie fournie (ou consommée) par la source de tension.
4) Faire un bilan é nergétique.
Problème III : Co urant alternatif
On considère le circuit de la figure 3, constitué d’un e bobine d’inductance
L, d’un condensateur de capacité C et d’un e résistance R. On pose e(t) =E
cos( t) et i(t )=I cos( t+ ), E et I étant les valeurs efficaces de la ten-2 2
sion et respectivement du courant, étant le déphasage du courant i(t) par
rapport à la tension e (t) , étant la pulsation.
5 On donne: R =1k , w =10 rad/ s, L=10mH, C=10nF , E=10V .f
f
w
An née 20 04-2005 5
1) Déterminer l’impédance complexe entre les points M et P. En déduire
l’inte nsité com plexe i. Calculer nu mériquement l’intensité co mplexe i.
2) Déterminer les intensités complexes i et i . C alculer numériquement les C R
intensités complexes i et i .C R
3) En d éduire les valeu rs des intensités i(t), i (t) et i (t).C R
4) Déterminer, par deux méthodes différentes, la puissance consommée par
le ci rcuit. C alculer sa valeur nu mérique.
uNP5) Déterminer le rapport . Calculer nu mériquement ce rapport.
e
6) En considérant l’inductance de la bobine variable, déterminer quelle
condition doit vérifier L pour que le déphasage entre l’intensité i(t) et la
tension e(t) so it nul. C alculer numériquement L.
7 ) Cette condition étant remplie, déterminer l’inte nsité efficace I en fonc-
tion de E, C , et R. Calculer sa valeur nu mérique.
8) Déterminer les nou velles valeurs e fficaces des courants i et i .C R
9) R eprésentation de Fresnel
r
On considère toujours que le déphasage =0 . En prenant comme vecteur I
r
de référence, représenter schématiquement les vecteurs tension U et MN
r r
U . En déduire la valeur du déphasage entre le vecteur tension U et le NP NP
r rr
vecteur int ensité . R eprésenter les vect eurs courant I et I . I C R
TSVP.../...