−1 SE 2006, corrigé 0,04z 0,04z⇔ Z z = ⋅ Z z = ⋅ Z z , il ne reste plus qu’à ( ) ( ) ( )y x x−2 21− z z −12PARTIE 1 factoriser en bas en utilisant z −1= z−1 z +1 .( )( )À propos des notations et du vocabulaire.zLes notations x n et y n désignent des fonctions de N dans R. Dans d’autres chapitres, on ( ) ( ) 2)a) Si x n = e n alors Z z = donc:( ) ( ) ( )xappelle cela des suites. En électronique on appelle cela signal discret. Le mot discret s’oppose z−1€ à continu.Discret = prenant des valeurs ponctuelles (image: les barreaux d’une échelle).€ € € Continu = prenant une plage de valeurs (image: le toboggan)€ échelon unité€ 20,04z 0,04zZ z = ⋅ Z z =( ) ( )y 2 x 2z −1 z +1 z−1( )( )b) On va décomposer cette fraction en éléments simples en utilisant la y ntechnique de l’identification, afin de retrouver l’expression de ( ) à discret continu partir de celle de Z z (transformée en z inverse).( )y€ Le mot signal est un mot de l’électronique; son équivalent strictement mathématique serait 0,04z A B Csimplement fonction (pour un signal continu) ou suite (pour un signal discret). J’écris donc = + + , attention c’est 2 2Un signal causal prend des valeurs nulles avant 0. z−1 z + 1z +1 z−1 z−1( )( ) ( ) € 20,04z0,04z et non pas .€ Technique de la décomposition en éléments simples: αz + ß A A A B B Bn n−1 1 n n−1 1= + +… + + + +… +n p n n−1 n n−1z +1 z−1 z−1 z−1 z−1 z +1 z +1 z +1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )€ Si en bas l’un des facteurs n’est pas décomposable (degré 2 ...
−1 SE 2006, corrigé0,04z0,04z ⇔zZ z y( )=⋅Zx(z)=⋅Zx( ), il ne reste plus quà −2 2 1−z z−1 2 PARTIE 1 factoriser en bas en utilisantz−1=(z−1)(z+1). À propos des notàtions et du vocàbulàire. z Les notationsx(n)ety(n)désignent des fonctions deNdansR. Dans dautres chapitres, on x n=e nZ z= 2)a) Si( )( )alorsx( )donc: appelle cela des suites. En électronique on appelle celasignal discret. Le motdiscretsoppose z−1 àcontinu. Discret= prenant des valeurs ponctuelles (image: les barreaux dune échelle). Continu = prenant une plage de valeurs (image: le toboggan) échelon unité 2 0,04z0,04z Z=⋅Z z)= y(z)2x(2 z−1(z+1)z−1 ( ) b) On va décomposer cette fraction en éléments simples en utilisant la technique de lidentification, afin de retrouver lexpression dey(n)à Z z discret continupartir de celle dey( )(transformée enzinverse). Le motsignalest un mot de lélectronique; son équivalent strictement mathématique serait 0,04B Cz A simplementfonction(pour un signal continu) ousuite(pour un signal discret). Jécris donc= ++, attention cest 2 2 Un sinalcausaldes valeurs nulles avant 0. rend z−1z+1 (z+1)(z−1) (z−1)2 0,04zetnon pas0,04z. Technique de la décomposition en éléments simples: αz+ ABA AB B n n−1 1n n−1 1 = ++ ++ ++ + n pn n−1n n−1 z−1z+1 (z+1) (z−1) (z−1) (z−1) (z+1) (z+1) Si en bas lun des facteurs nest pas décomposable (degré 2 avec∆<0) alors on écrit: n n−1 1nBn−1 1αz+B B AA A = ++ ++ ++ + 2 2 n pn n−1n n−1 2 22 22 2 az+bz+c a′z +b′z +c′az+bz+c a′z +b′z +c′az+bz+c az+bz+c( )a′z+b′z +c′a′z +b′z +c′( ) ( )( )( )( )( )( ) signaux causals discretssignaux causals continus Ici 1) On ay(n)−y(n−2)=0,04x(n−1).2 2 −2−1A z+1+B z−1+C z−1 0,04z AB C( )( )( ) z⋅Z z On transforme enzdoù:Z(z)−z⋅Zy( )=0,04⋅zx( ) = ++ = y 2 22 z−1z+1 Dans cette écriture,y( )désigne la fonctionyappliquée à la variablez. La transformée enz(z+1)(z−1) (z−1) (z−1) (z+1) Z zZ y(n)Z dun signal discret (par exemple du signal discretest donc une fonction continueyde la2 0,04z(B+C)z+(A−2C)z+(A−B+C) variable complexe). = 2 2 On modèle un peu cette équation: (z+1)(z−1) (z−1) (z+1) −2−1−2−1 z−z0,04⋅z⋅Z z⇔Z z1−z=0,04⋅z⋅Z z Zy( )⋅Z(z)=x( )y( )( )x( )on identifie, doù: y