Corrige BTS CPI Mathematiques 2008

2EXERCICE 1 ⎛ ⎞x2 2f(x)= x +4x+3 1−x+ +x ε(x)( )y′′−y=0A)1) on résoud d’abord l’équation homogène dont les ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠u x =λcosx+µsinx, λ,µ ∈ Rsolutions sont .( ) 23x 2 2 2f x =3−3x+4x+ −4x +x +x ε x( ) ( ) d’où le résultat.2) on cherche ensuite une solution particulière; relativement simple, 2elle est donnée par l’énoncé, il suffit de remplacer y par g(x) pour y=3+xTangente en 0: (c’est le développement limité à l’ordre 1)2 −xvérifier: g x = x +4x e donc ( ) ( ) 3 2 2Positions relatives: f x −y= − x +x ε x négatif dans un ( ) ( )2 −x 2 −x 2g′ x = 2x+4−x −4x e = −x −2x+4 e et( ) ( ) ( )voisinage de 0 donc Cf est localement en dessous de sa tangente.2 −x 2 −xg′′ x = −2x−2+x +2x−4 e = +x −6 e d’où:( ) ( ) ( )2 2 −x −xg′′ x −g x = x −6−x −4x e = −6−4x e cqfd.( ) ( ) ( )( )3) pour l’ensemble des solutions on ajoute solution homogène et solution particulière d’où:2 −xf x =λcosx+µsinx+ x +4x e , λ,µ ∈ R( ) ( ) EXERCICE 2f 0 =3⇔λ+0+0=3⇔λ =34) première condition: . Donc ( ) ⎧f(0)= −2⎪A) 1) On lit sur le graphique que , on en déduit que ⎨2 −xf x =3cosx+µsinx+ x +4x e , λ,µ ∈ R( ) f(2)=0( ) ⎪⎩seconde condition: je dérive je trouve b= −2⎧ b= −2 b = −2⎧ ⎧⇔ ⇔ d’où le résultat admis 2 −x ⎨ ⎨ ⎨−2f′ x =−3sinx+µcosx+ −x −2x+4 e , λ,µ ∈ R (la seconde ( ) ( ) 2a+ −2 =0 a =1(2a+b)e =0 ( )⎪ ⎩⎩ ⎩partie a déjà été calculée au 2). par l’énoncé ensuite.−x −x −x −xf′ 0 =1⇔µ+4 =1⇔µ=−3( ) f′ x =e + x−2 −e = 1−x+2 e = 3−x e2) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 −xConclusion: f x =3cosx−3sinx+ x ...