Corrige BTS CPI Mathematiques 2008

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2EXERCICE 1 ⎛ ⎞x2 2f(x)= x +4x+3 1−x+ +x ε(x)( )y′′−y=0A)1) on résoud d’abord l’équation homogène dont les ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠u x =λcosx+µsinx, λ,µ ∈ Rsolutions sont .( ) 23x 2 2 2f x =3−3x+4x+ −4x +x +x ε x( ) ( ) d’où le résultat.2) on cherche ensuite une solution particulière; relativement simple, 2elle est donnée par l’énoncé, il suffit de remplacer y par g(x) pour y=3+xTangente en 0: (c’est le développement limité à l’ordre 1)2 −xvérifier: g x = x +4x e donc ( ) ( ) 3 2 2Positions relatives: f x −y= − x +x ε x négatif dans un ( ) ( )2 −x 2 −x 2g′ x = 2x+4−x −4x e = −x −2x+4 e et( ) ( ) ( )voisinage de 0 donc Cf est localement en dessous de sa tangente.2 −x 2 −xg′′ x = −2x−2+x +2x−4 e = +x −6 e d’où:( ) ( ) ( )2 2 −x −xg′′ x −g x = x −6−x −4x e = −6−4x e cqfd.( ) ( ) ( )( )3) pour l’ensemble des solutions on ajoute solution homogène et solution particulière d’où:2 −xf x =λcosx+µsinx+ x +4x e , λ,µ ∈ R( ) ( ) EXERCICE 2f 0 =3⇔λ+0+0=3⇔λ =34) première condition: . Donc ( ) ⎧f(0)= −2⎪A) 1) On lit sur le graphique que , on en déduit que ⎨2 −xf x =3cosx+µsinx+ x +4x e , λ,µ ∈ R( ) f(2)=0( ) ⎪⎩seconde condition: je dérive je trouve b= −2⎧ b= −2 b = −2⎧ ⎧⇔ ⇔ d’où le résultat admis 2 −x ⎨ ⎨ ⎨−2f′ x =−3sinx+µcosx+ −x −2x+4 e , λ,µ ∈ R (la seconde ( ) ( ) 2a+ −2 =0 a =1(2a+b)e =0 ( )⎪ ⎩⎩ ⎩partie a déjà été calculée au 2). par l’énoncé ensuite.−x −x −x −xf′ 0 =1⇔µ+4 =1⇔µ=−3( ) f′ x =e + x−2 −e = 1−x+2 e = 3−x e2) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 −xConclusion: f x =3cosx−3sinx+ x ...

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Langue	Français

Extrait

EXERCICE 1 A)1) on résoud dabord léquation homogèney′′ −y=0dont les solutions sontu(x)=λcosx+µsinx,λ,µ∈R. 2) on cherche ensuite une solution particulière; relativement simple, elle est donnée par lénoncé, il suffit de remplaceryparg(x)pour 2−x vérifier:g(x)=(x+4x)edonc 2−x2−x 4−x−4x e=−x4e g′(x)=(2x+) (−2x+)et 2−x2−x g′′x=−2x−2+x+2x−4e= +x−6e ( )( )( )doù: 2 2−x−x g′′x−xg x−4x e=−6−4x e ( )( )=(x−6−)( )cqfd. 3) pour lensemble des solutions on ajoute solution homogène et solution particulière doù: 2−x +4x e,λ,µ∈R f(x)=λcosx+µsinx+(x) 4) première condition:f(0)=3⇔λ+0+0=3⇔λ=3. Donc 2−x f x=3cosx+µsinx+x+4x e,λ,µ∈R ( )( ) seconde condition: je dérive je trouve 2−x f′x=−3sinx+µcosx+−x−2x+4 ( )( )e,λ,µ∈R(la seconde partie a déjà été calculée au 2). f′(0)=1⇔µ+4=1⇔µ=−3 2−x +x+4x Conclusion:f(x)=3cosx−3sinx( )e 2−x B)f(x)=(x+4x+3)e 2 −xx2 DL:e=1−x+ +xε(x)donc 2

2 ⎛x⎞ 2 2 f(x)=(x+4x+3)1−x+ +xε(x) ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 3x2 2 2 f(x)=3−3x+4x+−4x+x+xε(x)doù le résultat. 2 Tangente en 0:y=3+x(cest le développement limité à lordre 1) 3 2 2 Positions relatives:f(x)−y=−x+xε(x)négatif dans un 2 voisinage de 0 donc Cf est localement en dessous de sa tangente.

EXERCICE 2 ⎧f(0)=−2 ⎪ A) 1) On lit sur le graphique que⎨, on en déduit que ⎪f(2)=0 ⎩ ⎧b=−2b=−2 ⎧ ⎧b=−2 ⎨ ⇔⇔doù le résultat admis −2⎨ ⎨ 2a+−2= ⎪(2a+b)e=0( )0a=1 ⎩ ⎩⎩ par lénoncé ensuite. −x−x−x−x 2)f′(x)=e+(x−2)(−e)=(1−x+2)e=(3−x)e positif avant 3 et négatif après. t∞3 +∞ f(t) +– −3 e f 0 –∞

BTS CPI, mathématiques, juin 2008, corrigé, page 1 sur 4