Correction du Devoir Libre n PSI

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Niveau: Supérieur
Correction du Devoir Libre n?7 PSI MATHEMATIQUES Concours MINES - PONTS, epreuve 1 commune PC - PSI, 2007 I. Preliminaires 1. Posons A = MN ; alors A(i, k) = r∑ j=1 M(i, j) N(j, k) avec 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m. Pour tout i ? [[1, n]], on a donc m∑ k=1 |A(i, k)| = m∑ k=1 ? ? ? r∑ j=1 M(i, j)N(j, k) ? ? ? ≤ m∑ k=1 ( r∑ j=1 |M(i, j)| |N(j, k)| ) = r∑ j=1 ( |M(i, j)| m∑ k=1 |N(j, k)| ) ≤ ( max 1≤j≤r m∑ k=1 |N(j, k)| ) ? ( r∑ j=1 |M(i, j)| ) = ?N? ( r∑ j=1 |M(i, j)| ) .

base adaptee

correction du devoir libre n?7

iy ?

aa ?

endomorphisme

k? ≤

Sujets

Endomorphisme

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Langue	Français

Extrait

◦ Correction du Devoir Libren7 PSI MATHEMATIQUES

ConcoursMINES-PONTS,e´preuve1communePC-PSI,2007 I.Pre´liminaires r X 1.PosonsA=M N; alorsA(i, k) =M(i, j)N(j, k) avec1≤i≤n, 1≤k≤m. Pour tout j=1 i∈[1, n], on a donc m mr X XX |A(i, k)|=M(i, j)N(j, k) k=1k=1j=1    m rr m X XX X ≤ |M(i, j)| |N(j, k)|=|M(i, j)| |N(j, k)| k=1j=1j=1k=1 m rr     X XX ≤max|N(j, k)|| ×M(i, j)|=kNk |M(i, j)|. 1≤j≤r k=1j=1j=1 En prenant le max sur tous lesi∈[1, n], on obtientkAk=kM Nk ≤ kMk kNk. 2.SiP∈ Mn(IR) est stochastique, alors on aP(i, j)≥0 pour tout couple (i, jaleg’´tl)etie´ P Jn=Jnse traduit par la relation n n X X ∀i∈[1, n]P(i, j) =|P(i, j)|= 1. j=1j=1 DonckPk.1d=´noc¸afeetnedive ∗k 3.rtoutouParuner´ecurrneecmi´mdeaietp,k∈la matriceIN ,Pest (strictement) positive et k k P Jn=Jn, doncPest stochastique. II. Pseudo-inverse 0 0n 4.SoitAune matrice pseudo-inverse deA, notonsal’endomorphisme de IRcanoniquement 2 associe´.Onal’inclusionimm´ediateIm(a)⊂Imaarli.aPe´te)1(s2(te,)urledes,rospi´pr 0 0202 on tirea=a(a a) =a(aa) =a ad,o’u`li(mIeuqeluoce´da)⊂Im(a). Finalement 2 2 Im(a) = Im(a), donc rg(a) = rg(a). n2 5.Soitx∈Im(a)∩Ker(a) ; alorsa(x) = 0 et il existey∈queIR telx=a(y). Donca(y) = 0, 2 2 autrement dity∈Ker(a). Mais, de rg(a) = rg(atireg,onuran`roedemedte)´htu 2 2 dim Ker(a) = dimKer(aKere()’ialonu’squi,pettnedive´noisulcna)⊂Ker(a), on a donc 2 Ker(a) = Ker(a). Finalement,y∈Ker(a) etx=a(ynOpa=).0e´uqorvueIm(a) et Ker(a) sontensommedirecte,c’est-`a-direqueIm(a)∩Ker(a) ={0}e´ditnarnE.snocsionslesdimen n (the´ore`medurangtoujours),onconclutqu’ilssontsuppl´ementaires:IR=Im(a)⊕Ker(a). n n 6.SoitB= (e1,∙ ∙ ∙, er, er+1,∙ ∙ ∙, en)ebunmI=RIno(`alad´ecompositisadeIeRdapa´teea)⊕ Ker(a). Puisque Im(a) est stable para, la matrice de l’endomorphismeativerelaa`emtn   B0 une telle base est de la formeavecB∈ Mr(IR). De plus,Best la matrice dans 0 0 la base (e1,∙ ∙ ∙, er) de l’endomorphismebde Imainduit para, et cet endomorphismebest un automorphisme de Im(a) puisque Ker(b) = Ker(a)∩Im(a) ={0}, donc la matriceB n est inversible. En notant enﬁnWvers lala matrice de passage de la base canonique de IR   B0−1 baseB, on a bienA=W W, etW∈GLn(IR). 0 0