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Concours Fesic mai

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Niveau: Supérieur
[ Concours Fesic mai 2008 \ Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, ?1 si mauvaise réponse, 0 si pas de ré- ponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste. EXERCICE 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) . On considère trois points A, B et C d'affixes respectives zA = 1+ i p 3, zB = 1+ i, et zC = 2i ( cos π12 + isin π 12 ) . a. On a arg(zC)= π12 . b. L'écriture algébrique de zA zB est : p3+1 2 + i p3?1 2 . c. L'écriture trigonométrique de zA zB est : p2 ( cos π12 + isin π 12 ) . d. On a : OAOB = OC p2 . EXERCICE 2 On considère deux réels a et b et l'équation [E] : z4+az3+bz2+az+1= 0 dans C. a. Si z0 est solution de [E] alors z0 et 1z0 le sont aussi. b. Si 1+2i est solution de [E] alors 11?2i aussi.

repère orthonormal

c1 au point d'abscisse

point dec d'abscisse

écriture algébrique de za zb

Sujets

Base orthonormale

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Publié par	apmep
Publié le	01 mai 2008
Nombre de lectures	93
Langue	Français

Extrait

[Concours Fesic mai 2008\

Calculatrice interdite; traiter12exercices sur les16en2h30; répondre par Vrai ou Faux sans justiﬁcation.+1si bonne réponse,−1si mauvaise réponse,0si pas de ré ponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.

EX E R C IC E1 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonorméO,u,v. On considère trois points A, B et C d’afﬁxes respectives ³ ´ p π π zA=1+i 3,zB=1+i, etzC=2i cos+i sin. 12 12 π a.(On a argzC)=. 12 p zA3+1 3−1 b.L’écriture algébrique deest :+i . zB2 2 ³ ´ zAπ π c.2 cosest :L’écriture trigonométrique de+i sin. zB12 12 OA OC d.On a := p. OB 2

EX E R C IC E2 4 3 2 On considère deux réelsaetbet l’équation [E] :z+a z+b z+a z+1=0 dansC. 1 a.Siz0est solution de [E] alorsz0et lesont aussi. z0 1 b.Si 1+2i est solution de [E] alorsaussi. 1−2i 1 ′2 c.Le changement de variableZ=z+conduit à résoudre [E ] :Z+a Z+b=0. z 4 3 2 d.On peut factoriser l’expressionz+a z+b z+a z+1 par deux polynômes de degré deux à coefﬁcients réels.

EX E R C IC E3 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonorméO,u,v. On appelle A le point d’afﬁxe 2, B le point dafﬁxe−3−i et C le point d’intersection de (OB) avec la médiatrice de [OA]. On considère dansCles équations suivantes [E1] et [E2] : [E1] :|z| = |z−2|et [E2] : arg(z)=arg(z+3+i). a.L’ensemble des pointsMdu plan dont l’afﬁxezvériﬁe [E1] est la médiatrice de [OA]. b.L’ensemble des pointsMdu plan dont l’afﬁxezvériﬁe [E2] est le segment [OB], exclusions faites de O et B. c.L’afﬁxe du point C vériﬁe simultanément [E1] et [E2]. µ ¶ 1 d.1 ;Le point C a pour coordonnées 3

EX E R C IC E4 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal. Soienta∈R, (C) la courbe représentant la fonction exponentielle et (T) la tangente à (C) au point d’abscissea. x x Soientfla fonction déﬁnie surRpar :f(x)=e−e (x+1−a) et (Γ) sa courbe repré sentative dans le même repère. a a.Une équation de (T) est :y=e (x+1−a). ′ b.La dérivéefdefest croissante surR.

Concours Fesic 14 mai 2005

a c.(C) est audessous de (T) avant le point A(a; e) est audessus de (T) après A. d.À tout réelx0on associe les pointsM0de (C) etN0de (Γ) d’abscisse commune x0.x0étant ﬁxé, il existe une valeur deatelle que (C) et (Γ) possèdent des tangentes parallèles respectivement enM0etN0.

EX E R C IC E5 Dans le repère orthonormal cidessous sont représentées les courbes des fonctions logarithme népérien, exponentielle et identité (x→7−x).

1 K

x −4−3−2−2 31 1 I J −1

A −2

−3

−4 aetbsont deux réels strictement positifs etAetBsont deux points deC1d’abs cisses respectivesaetb. On appelleIle milieu de [AB]. On notera ceci :J∈Δ,K∈C2, les droites (I J) et (K C) sont parallèles à l’axe des abs cisses ; la droite (J K) est parallèle à l’axe des ordonnées. µ ¶ ³ ´ a+b a.Le pointIa les coordonnées; lnab. 2 ab b.L’abscisse deCest e. a+b c.La tangente àC1est parallèle à la droiteau point d’abscisseΔsi et seule 2 ment sia+b=2. d.Le symétrique deApar rapport àΔa pour coordonnées (lna;a).

EX E R C IC E6

x2x a.Aﬁn de résoudre l’inéquation e−e<0, on utilise le raisonnement suivant : 2 x « Sixest une solution, alorsx∈Ret on a e− <0. Le changement de va x e

Terminale S

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2 2X−2 x x riableX=e donneX− <0, soit<0. Or on aX=e>0. Il faut donc X X ¡p¢¢ ¡p 2 X−2<0, soit aussiX−2X+2<0. On en déduit−2<X<2, donc x −2<e<2. ln étant une fonction croissante, on obtientx<ln 2.Ces conditions néces saires sont sufﬁsantes. Solution :x<ln 2. Ce raisonnement est exact. b.On considère la suite déﬁnie par : 1 y u0=et pour toutn∈NparΔ C 2 1 1 2 un+1=u+. n 8 On désigne parCla courbe re présentant la fonctionfdéﬁ 2 nie surR+par :f(x)=x+ 1 et on désigne parΔla 8 droite d’équationy=x. Aﬁn de construire les quatre premiers termes de la suiteu, on a réa 0 lisé la construction cicontre.u uu u x 0 12 3 0 1 Cette construction est exacte. c.On considère la suiteuet la fonctionfprésentées à l’itemb. Aﬁn de montrer queuest croissante, on utilise le raisonnement par récur rence suivant : « Soit P(n) l’inéquation :un+1>un>0. Initialisation : on au1>u0>0, donc P(0) est vraie. Hérédité :Soitp∈Ntel que P(p) soit vraie. Alorsup+1>up>0. Commef ¡ ¢ est croissante surR+et ne prend que des valeurs positives, alorsf up+1> ¡ ¢ f up>f(0), soitup+2>up+1>0. Donc P(p+1) est vraie. Conclusion :De ces deux assertions et d’après le théorème de raisonnement par récurrence, je déduis que quel que soitn∈N,P(n) est vraie. On obtient, pour toutn∈N,un+1>un, ce qui prouve queuest croissante. Ce raisonnement est exact. d.On considère la fonctionfdéﬁnie sur ]− ∞;−3]∪[1 ;+ ∞:[ parf(x)= 2 x+2x−3. On cherche à savoir si la courbeCreprésentantfpossède une tangente au point A( 1; 0 ). On utilise pour cela le raisonnement suivant: «Une équation ′ de la tangente àCen A est donnée pary=(x−1)f(1)+f(1). x+1 ′ ′ Or on af(x)= p, doncf(1) n’existe pas et doncfn’est pas déri 2 x+2x−3 vable en 1. On en déduit queCne possède pas de tangente en A. » Ce raisonnement est exact.

EX E R C IC E7 p −x x Soitf:la fonction déﬁnie parf(x)=e e−1. On appelleDl’ensemble de déﬁ nition def. a.fest dérivable surD=[0 ;+ ∞[. b.limf(x)= +∞. x→+∞ · ¸ 1 c.Quel que soitx∈D,f(x)∈0 ;. 2 1 d.L’équationf(x)=admet une unique solution surD. 2

EX E R C IC E8 µ ¶ 1 1 Soitf:la fonction déﬁnie parf(x)= +ln 1+. On appelleDl’ensemble de x x

Terminale S

Concours Fesic 14 mai 2005

déﬁnition defetCsa courbe représentative dans un repère du plan. a.D=]− ∞;−1[ ; b.fadmet des primitives sur ]− ∞;−l’une d’elles est la fonction1[ ;Fdéﬁnie sur ]− ∞;−1[ par

F(x)=(1+x) ln(1+x)+(1−x) lnx.

c.limx f(x)=1. x→−∞ n X 2 d.Soitn∈N∗. On a :f(k)= +ln(n+1). n(n+1) k=1

EX E R C IC E9 Soitfune fonction continue et positive sur [0 ;+ ∞[. SoientFetGles fonctions déﬁnies sur [0 ;+ ∞[ respectivement par : Z Z x x F(x)=f(t) dtetG(x)=x f(t) dt. 1 1

On désigne parΓla représentation graphique defdans un repère du plan. a.G(0)=G(1). ′ b.Gest dérivable sur [0 ;+∞[ et pour toutx∈[0 ;+∞[, on aG(x)=F(x)+x f(x). c.On ne peut pas prévoir le sens de variation deGsur [0 ;+ ∞[ avec les seules hypothèses de l’énoncé. d. L’airede la surface limitée par les droites d’équationsx=0,x=2,y=0 et la courbeΓse calcule parF(2)+F(0).

EX E R C IC E10 ′ a.La solution de l’équation différentielle 2y+y=0 qui prend la valeur 5 en 1 est 1−x 2 la fonctionfdéﬁnie surRparf(x)=5e . b.L’ensemble des solutions de l’équation ln(4−x)61 est [4−e ;+ ∞[. c.Soienta∈R+∗etCla courbe représentant la fonction ln dans un repère or thonormal du plan d’origine O. Soient A le point deCd’abscissea, B le projeté orthogonal de A sur l’axe des abscisses et C le point d’intersection de la tan gente àCen A avec l’axe des abscisses. C est le milieu de [OB] si et seulement sia=e. d. Soita∈Rnés.. Soient trois points A, B et C deux à deux distincts et non alig © ª a Soit G le barycentre de(A, e) ;(B,) ;(C ; 2). ³ ´ −→−→ Dans le repèreA ;AB , ACle point G a les coordonnées (x,y) telles que a 1 2e x=ety=. a2a2 (e+1) (e+1)

EX E R C IC E11 Soitfla fonction déﬁnie surR+par : 4 f(x)=3−. x+2 On considère la suiteudéﬁnie pourn∈Npar : ½ u0=4 un+1=f(un) On admettra que la suiteuest bien déﬁnie. a.fest croissante surR+. b.uest croissante. c.Quel que soitn∈N,un>2.

Terminale S

d.uest convergente.

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EX E R C IC E12 Soitfla fonction déﬁnie surR+par : 4 f(x)=3−. x+2 On considère la suiteudéﬁnie pourn∈Npar :  u0=4 un+1 un+1=f(un) etvn=. un−2 On admettra que les suitesuetvsont bien déﬁnies. a.vest géométrique de raison 4. 15 10 X 4−1 b.vk=v5×. 3 k=5 2vn+1 c.Pour toutn∈N,un=. vn−1 d. Lasuiteuconverge vers−1.

EX E R C IC E13 Soientbetndeux entiers naturels tels queb>2 etn>2. Une urne contient 2 boules blanches et (b−2) boules noires, indiscernables au tou cher. On tire au hasard une boule de l’urne, on repère sa couleur et on la remet dans l’urne. On répète ainsinfois cette expérience. On désigne parpnsla probabilité de tirer une boule blanche et une seule lors de (n−1) premiers tirages et une boule noire aunième tirage. 2 a.p2=1−. 2 b µ ¶ n−1 2(n−1) 2 b.pn=1−. b b ¡ ¢ c.lim lnpn0= +∞. n→+∞ pn d.limn−1=1. n→+∞ 1

EX E R C IC E14 Un jeu consiste à lancer trois fois de suite et de façon indépendante un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On obtient ainsi une partie com plète en trois manches, chaque lancer constituant une manche. Le joueur gagne la partie s’il obtient «1 » ou « 2 » à chaque lanc er. Il perd dans les autres cas. La partie coûte 1 euro ; le joueur reçoit 27 euros s’il gagne la partie. 1 a..La probabilité de gagner une partie est 27 b.Ce jeu est équitable. c.La probabilité pour un joueur de gagner au moins une fois en trois parties est 1 9 d.La probabilité qu’un joueur gagne une partie sachant qu’il a gagné la première manche est la même que la probabilité quil gagne la première manche sa chant qu’il a gagné la partie.

EX E R C IC E15 L’espace est muni d’un repère orthonormal. On considère le système  x+2y−3z=1  [S] :−3x+y+2z= −3  2x−3y+z=2

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On appellePle plan d’équation cartésiennex+2y−3z=1 etDla droite déﬁnie par ½ −3x+y+2z= −3 le système d’équations : 2x−3y+z=2

a.Le système [S] admet pour unique solution en (x;y;z) le triplet ( 2 ; 1 ; 1). b. LadroiteDest contenue dans le planP. ½ x−y=1 c.Le systèmeest un autre système qui permet de déﬁnir la y−z=0 droiteD. −→ d. Levecteuru1)est un vecteur directeur de la droite(2 ; 1 ;D.

EX E R C IC E16 ³ ´ −→−→−→ L’espace est rapporté à un repère orthonorméO,ı,,k. On considère par leurs ¡ ¢¡p¢ coordonnées les points A1 ;−1+2 ; 2, B3 ;−1−2 ;4 etC(2 ;−1 ; 3) . On appelleΣl’ensemble des points de coordonnées (x;y;z) tels que : (x−1)(x− 3)+(y+1−2)(y+1+2)+(z−2)(z−4)=0. p Pest le plan d’équation cartésienne :x−y+z2=3 2−1. a.Σest une sphère dont un diamètre est [AB]. b.Σest une sphère de centre C. ¡p¢ 3 1+2 c.La distance de C àPest . 2 d.Pest tangent àΣ.

Terminale S

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