CONCOURS ENSAM ESTP ECRIN ARCHIMEDE

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Niveau: Supérieur
1.4981 CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 2 MP durée 3 heures Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie, F un sous-espace de E et G un groupe fini d'automorphismes linéaires de E, de cardinal m. tel que F soit stable par tout élément g de G. Exercice 1 Le produit u o 21 de deux endomorphismes de E sera noté plus simplement UV. À tout endomorphisme u de E. on associe u+ défini par : u+ = 1 c g-lug. m gEG 1 O. Montrer que u+ est un endomorphisme de E commutant avec tout élément h de G. 2'. Calculer (u+)+. 3 O. Calculer la trace de u+ en fonction de celle de u. 4O. Soit p un projecteur de E dïmage F. Montrer que F est inclus dans l'image de p+ . 5”. Montrer que, pour tous g et h de G. on a g-‘pgh-‘ph = h-‘ph. 6 ‘. Montrer que p+ est un projecteur. 7 O. Comparer les images de p et de p+ . Tournez la page S.V.P.