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Concours Centrale Supélec

les_cours_d_alain - Jean-Philippe Rey

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Niveau: Supérieur
PHYSIQUE I Concours Centrale-Supélec 2000 1/10 PHYSIQUE I Filière PC Les trois parties du problème sont largement indépendantes. Les réponses non justiﬁées aux questions qualitatives ne seront pas prises en compte. Partie I - Généralités sur la microscopie I.A - Ordres de grandeur Un microscope optique permet d'observer des globules sanguins, un microscope électronique des défauts d'une structure cristalline, un microscope à sonde locale des atomes. Quels sont les ordres de grandeur des objets observés et du pouvoir de résolution minimal de chacun des microscopes utilisés ? I.B - Microscope optique ; étude géométrique Un microscope optique porte les indications suivantes. Sur son objectif : x40 ; sur l'oculaire : x10. La notice constructeur précise : ouverture numérique de l'objectif , intervalle optique . La signiﬁcation de ces indications sera précisée dans la suite. Le microscope sera modélisé par deux lentilles minces convergentes. Il est réglé pour donner une image à l'inﬁni d'un objet réel AB, perpendiculaire à l'axe optique, A étant placé sur l'axe, légè- rement en avant du foyer objet de l'objectif. Cette image est observée par un œil emmétrope placé au voisinage du foyer image de l'oculaire. L' œil nu voit nette- ment des objets situés entre la distance et l'inﬁni. I.B.1) Faire un schéma du dispositif (sans respecter l'échelle) et tracer soi- gneusement la marche de 2 rayons lumineux issus du point B de l'objet AB, l'un émis parallèlement à l'axe optique, l'autre passant par foyer objet

microscope

microscope optique

objectif de centre optique

oculaire

grossissement commercial du microscope

ordre de grandeur du diamètre de la monture de l'objectif

poutre

force atomique

Sujets

Microscope

Microscope optique

Oculaire

Poutre

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PHYSIQUE I

Filière PC

Les trois parties du problème sont largement indépendantes. Les réponses non justiﬁées aux questions qualitatives ne seront pas prises en compte.

Partie I - Généralités sur la microscopie I.A - Ordres de grandeur Un microscope optique permet d’observer des globules sanguins, un microscope électronique des défauts d’une structure cristalline, un microscope à sonde locale des atomes. Quels sont les ordres de grandeur des objets observés et du pouvoir de résolution minimal de chacun des microscopes utilisés ? I.B - Microscope optique ; étude géométrique Un microscope optique porte les indications suivantes. Sur son objectif : x40 ; sur l’oculaire : x10. La notice constructeur précise : ouverture numérique de l’objectif= 0,65, intervalle optiquecm= 16 .La signiﬁcation de ces 0 indications sera précisée dans la suite. Le microscope sera modélisé par deux lentilles minces convergentes. Il est réglé pour donner une image à l’inﬁni d’un objet réel AB, perpendiculaire à l’axe optique, A étant placé sur l’axe, légè-rement en avant du foyer objet de l’objectif. Cette image est observée par un œil emmétrope placé au voisinage du foyer image de l’oculaire. L’ œil nu voit nette-ment des objets situés entre la distance= 25 cmet l’inﬁni. I.B.1) Faire un schéma du dispositif (sans respecter l’échelle) et tracer soi-gneusement la marche de 2 rayons lumineux issus du point B de l’objet AB, l’un émis parallèlement à l’axe optique, l’autre passant parFfoyer objet de la len-1 tilleL.équivalente à l’objectif de centre optique O 11 I.B.2) a) L’indication portée sur l’oculaire (x10) est le grossissement commercial, c’est-à-dire le rapport de l’angle sous lequel on voit l’image à l’inﬁni d’un objet à tra-vers l’oculaire seul et l’angle sous lequel on voit ce même objet à l’œil nu lorsqu’il est situé à la distance minimale de vision distincte. Déterminerf, distance 2 focale image de l’oculaire. b) L’intervalle optique correspond à la distanceF'F. La valeur absolue du 1 2 grandissement de l’objet AB par l’objectif est : x40. Calculerf, distance focale 1 image de la lentille équivalente à l’objectif. Calculer la distanceO Apermettant 1 de positionner l’objet.

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c) Déterminer la latitude de mise au point, c’est-à-dire la variation de la dis-tanceO Acompatible avec une vision nette de l’image ﬁnale par l’observateur, 1 dont l’œil est au foyer image de l’oculaire. Interpréter le résultat obtenu. d) Calculer dans le cas d’une image ﬁnale à l’inﬁni le grossissement commercial du microscope. I.B.3) L’ouverture numérique du microscope,, correspond ànsinu,n 0 indice du milieu dans lequel plonge l’objectif,u angle maximum des rayons issus de A arrivant sur l’objectif. Calculerupour un objectif plongé dans l’air. Le microscope est-il utilisé dans les conditions de Gauss ? Quel type d’aberra-tions doit-on corriger ? Quel est l’ordre de grandeur du diamètre de la monture de l’objectif ? I.B.4) Déterminer la position et la taille du cercle oculaire, image de la mon-ture de l’objectif à travers l’oculaire. Quel est l’intérêt de placer l’œil dans le plan du cercle oculaire ? On serait tenté pour augmenter le grossissement du micros-cope de prendre un oculaire de grossissement élevé ; est-ce judicieux ? Justiﬁer votre réponse. I.C - Pouvoir séparateur Pour déterminer le pouvoir séparateur du microscope, on considère que l’objet est un réseau périodique dont la distance entre 2 traits estd, éclairé sous inci-dence normale par une lumière monochromatique de longueur d’onde nm= 586 . 0 I.C.1) Établir par des considérations simples la relation donnant les direc-tions dans lesquelles la lumière est transmise par le réseau. I.C.2) Montrer que le premier ordre contient une information sur le pas du réseau utilisé. En déduire une condition sur l’angle maximal du rayon arrivant sur l’objectif pour que cette information soit transmise par le microscope. I.C.3) En déduire une relation entre le pouvoir séparateur du microscope, c’est-à-dire la plus petite distanceddiscernable entre 2 objets, et l’ouverture min numérique de l’objectif, pour un objectif plongé dans l’air. I.C.4) Lorsque le pouvoir séparateur est limité par l’objectif, on utilise le cri-tère de Rayleigh qui indiqued= 0,61 . Justiﬁer la différence avec min0 0 l’expression obtenue précédemment. Quel serait selon vous un moyen d’amélio-rer le pouvoir séparateur ?

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I.C.5) Le microscope utilisé est-il adapté à l’observation des globules sanguins ? I.C.6) Commenter l’afﬁrmation suivante : « Le microscope est vis-à-vis de la fréquence spatiale l’analogue d’un ﬁltre passe-bas utilisé en électronique » ; quelle serait la fréquence de coupure ? I.D - Microscope électronique Pour augmenter le pouvoir séparateur d’un microscope, on peut envisager de remplacer les photons par des électrons et réaliser un microscope électronique. La longueur d’onde associée à un électron de quantité de mouvementp est =hp(relation de de Broglie), avec –34 constante de Planck :h= 6,6210 Js; –31 masse de l’électron :m= 9,110 kg. I.D.1) Un électron, supposé initialement au repos, est accéléré sous une dif-férence de potentiel de10 kV. En supposant que l’on peut effectuer le calcul en mécanique classique, calculer la longueur d’onde associée à l’électron. I.D.2) Déterminer, à partir de la relation de Rayleigh, le pouvoir séparateur ultime d’un tel microscope d’ouverture numérique0,4et le comparer à celui du microscope optique utilisé. I.D.3) Quelles limites peut-on prévoir à l’utilisation de faisceaux électroni-ques plus énergétiques ? Les limitations évoquées précédemment ont conduit à l’avènement d’une nouvelle famille de microscopes, d’un principe différent, lesmicroscopes à sonde locale.Les microscopes à sonde locale sont des appareils dont la caractéristique commune est d’explorer une sur-face par des déplacements nanométriques d’une sonde au contact ou au voisinage de cette surface. L’invention dumicroscope à effet tunnelen 1984 a valu le prix Nobel à G. Binnig et H. Rohrer dès 1986 ; elle a été rapidement suivie par l’invention dumicroscope à force atomique.Dans le premier cas, la grandeur mesurée est un courant de l’ordre du picoam-père (courant tunnel) circulant entre la sonde et l’échantillon. Dans le second cas, la grandeur mesurée est la force d’interaction entre la sonde et l’échantillon.

Partie II - Déformation d’une poutre Dans un microscope à force atomique, on mesure le déplacement de l’extrémité d’une poutre soumise à une force. L’objet de ce paragraphe est de relier la défor-mation d’une poutre aux efforts que subit celle-ci. Le référentiel d’étude est sup-posé galiléen.

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II.A - Poutre dans un champ de pesanteur On considère une poutre de faible section, yFigure 1 de longueurL, de masse linéique uni-forme, soumise à un champ de pesan-e t teur uniformeg= –ge, oùedésigne le y y vecteur unitaire de la verticale ascen- (x) (x+x) e y dante. On admettra que la poutre reste e xx z localisée dans un plan vertical (ﬁg. 1 et 3).x x+x L’équation de la poutre à l’équilibre est y= (x). La section de la poutre étant faible, un point M de la poutre est repéré par son abscisse curvilignes, celle-ci étant comprise entre 0 et la longueurLde la poutre. Les efforts exercés par le tronçon [s,L] sur le tronçon [0,s] sont décrits par une forceT(s)au point appliquée M et par un couple (s). On désignera parele vecteur unitaire tangent enMà la poutre. La direction de t T(s)sera supposée dans le plan(O,e,e), mais pas nécessairement colinéaire x y àe. t II.A.1) a) Préciser l’expression de la densité linéique de forcesf(s)décrivant les efforts de pesanteur, le champ de pesanteur–geet la masse linéiqueétant unifor-y mes. b) On prend pour système mécanique le tronçonM M'compris entre les abscis-sessets+s ; on appelleGle centre d’inertie de ce tronçon. Représenter sur un schéma les forces s’exerçant sur le système enM,MetG; en déduire la résultante des efforts subis par le système. c) Donner les contributions au moment enGde respectivement T(s+s), (s+s)exercés enM(s+s)et du poids du système. Donner de même les con-tributions au moment enGdes efforts exercés par le tronçon[0,s]sur le sys-tème enM(s). En déduire le moment résultant enG. d) Écrire les deux équations vectorielles traduisant l’équilibre du tronçon [s,s+s]. II.A.2) a) Montrer queT(s)=T(s) e est une constante ; on noteraTcons- cette x x0 tante. b) Donner l’équation différentielle reliantT(s)=T(s) eàetg y y (équation : (1)) (1) c) Montrer queetTsont liés par d (s) -+e(s) T(s)= 0. (2) t ds

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II.B - Application à de petites déformations élastiques d’une poutre On utilise le modèle précédent pour y Figure 2 décrire une poutre élastique ; on intro-duit pour cela l’angle=(e,e) où le x te (s) t vecteureest toujours le vecteur tangentM(s) t à la poutre au point courant. La déforma- (s) e tion du tronçon[s,s+s[ est mesurée y e x x par=(s+s)–(s). Dans le domainez d’élasticité, le moment des efforts est pro-portionnel à la déformation. D’autre part, un même moment produit une défor-mation d’autant plus grande que le tronçon est plus long ; la constante de proportionnalité est ainsi elle-même inversement proportionnelle às. On peut donc poser : C =- e(3) z s où le vecteureest le vecteur unitaire normal au plan(O,e,e)dans lequel on z x y suppose localisé le système. Dans l’approximation des petites déformations,reste faible. Cette approxima-tion sera utilisée dans toute la suite. II.B.1) a) Quelles sont alors les relations entredxetds, puis entreet (x)? b) Donner l’expression approchée deà partir de l’équation (3) en fonction de (x). c) Montrer que l’équation (2) permet d’exprimerTen fonction deC,Tet de y0 dérivées de (x). II.B.2) Fléchissement d’une poutre pesante y Figure 3 encastrée à une extrémité. On choisit l’origine des ordonnées de telle e y sorte que (0)= 0. L’encastrement est tel que la tangente à la poutre enx= 0est horizon-e L x x tale. z a) Compte tenu des conditions aux limites en x=L, donner les valeurs deT,T(x=L), 0y (x=L). b) Établir, à partir de l’équation différentielle (l) et des résultats précédents, l’expression deT(x). y c) Déterminer (0), (L)et (L).

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d) Déterminer la loi d’élongation (x)donnant la forme de la poutre à l’équili-bre. e) Préciser le déplacement (L)de l’extrémité libre. f)Application numérique :Calculer numériquement le déplacement de l’extré-–2 –12 2 mité libre pourL= 100µm,g= 9,81 ms,C= 2,1210 Nm, –8 –1 = 2,9310 kgm. II.B.3) La poutre étant toujours soumise aux efforts de pesanteur envisagés précédemment, elle est en outre soumise à une forceF=F eappliquée ponc-y tuellement à son extrémitéx=L. a) Montrer que 3 4 F Lg L (L)=-–-. (4) 3C8C b) À partir de quelle valeur deFeffets de pesanteur peuvent-ils être les négligés ? c)Application numérique :Calculer numériquement le déplacement de l’extré-–2 –12 2 mité libre pourL= 100µm,g= 9,81 ms,C= 2,1210 Nm, –8 –1 –8 = 2,9310 kgm, lorsqu’on applique une forceF= –10 Nà l’extrémité de la poutre.

Partie III - Microscopes à sonde locale Il est bien sûr essentiel, pour reconstituer des détails ﬁns de la surface, de contrôler de façon extrêmement ﬁne la position de la sonde d’exploration. Ce contrôle peut être réalisé au moyen de cales piézo-électriques, dont le principe sera étudié dans le troisième paragraphe. III.A - Approche de l’origine de la force atomique III.A.1) Interaction entreFigure 4 U(J) LJ –21 deux atomes. 210 –21 L’interaction entre deux 110 atomes distants der peut 0r(m) être décrite par une énergie potentielle de Lennard-–21 –110 Jones (ﬁgure 4). –21 B A–210 U(r)=-–-avec LJ 12 6 –21 r r –310 –10 –10 –10 510 1010 1510 –77 6 = 0 Jm A1 Modèle de Lennard-Jones –134 12 BJ= 10 m

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a) Représenter l’allure de la courbe représentative de la force d’interactionF(r) en fonction de la distancer. Préciser si cette force est attractive ou répulsive. b) Déterminer numériquement la distance inter atomiquerà l’équilibre. e c) Calculer numériquementF(0,9r)etF(1,1r). Commenter. e e III.B - Modes statiques : mode à hauteur constante et mode asservi Le mode de fonctionnement le plus direct, ditmode à hauteur constante, consiste à déplacer la sonde dans un plan au-dessus de l’échantillon (ﬁgure 5). On enre-gistre alors la valeur de la force d’interaction entre l’échantillon et la pointe en fonction des coordonnéesx,zdans ce plan. On utilise également un autre mode de fonctionnement, ditmode asservi, dans lequel la force mesurée est maintenue constante au cours du balayage, en ajustant, en chaque pointx,zde mesure, la position eny de la sonde. La cale piézo-électrique eny est contrôlée par une boucle d’asservissement qui impose un balayage à force constante de l’échan-tillon.

Figure 5

Trajectoire de la pointe

Mode à hauteur constante

Figure 6

Trajectoire de la pointe

Mode à hauteur asservie

III.B.1) Justiﬁer la représentation dans la ﬁgure 6 d’une trajectoire de la pointe parallèle à la surface de l’échantillon. III.B.2) Ces deux modes de fonctionnement permettent-ils de déterminer la forme de la surface de l’échantillon si l’on ignore la loi d’interaction entre la pointe et l’échantillon ? III.B.3) Quels sont, selon vous, les avantages respectifs de ces deux modes ? III.B.4) Comment peut-on procéder pour accéder à la loi d’interaction ? Dans la partie III.D, on envisagera un troisième mode de fonctionnement du microscope : lemode vibrant.

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III.C - Étude d’une lame de quartz piézo-électrique On considère une lame de quartz cylindrique y Figure 7 d’axeOxet de sectionSconstante ; sur les faces extrêmes d’abscisses au reposx= –e2 lame de quartz etx= +e2 sont collées deux électrodes x métalliques entre lesquelles on établit la dif-e e –-O -férence de potentiel2 2 e e u(t)=V–-,t–V-,t. 2 2 Le cristal est légèrement déformable et on note(x,t)l’élongation de la section d’abscissexau repos. SoitF(x,t)la force exercée par la fraction de lame située au repos dans l’intervalle d’abscisses]x,e2]sur la fraction située au repos dans l’intervalle d’abscisses[–e2,x[. En négligeant les effets de bord, on peut considérer que le champ électriqueE et le déplacement électriqueD=E+P, oùPest le vecteur polarisation, sont 0 de la forme : E=E(x,t)eetD=D(x,t)e. x x Au voisinage d’un état d’équilibre, on admet les relations phénoménologiques : F -=E-+hD Sx D E=-+h'- x oùEest le module d’Young du quartz etsa permittivité diélectrique absolue ; ces deux coefﬁcients, ainsi que les coefﬁcients piézo-électriquesheth'sont des constantes. III.C.1) Examiner les cas particuliersD= 0,puis quelconque, = 0,D quelconque. Commenter. III.C.2) Comparer les dimensions physiques des coefﬁcientsheth'. Proposer des unités pertinentes pour ces coefﬁcients. III.C.3) a) Dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-permanents, écrire les équations de Maxwell relatives àdiv Detrot E; simpliﬁer ces équations dans le cas où le champ magnétique, ainsi que la densité volumique de charges libres sont nuls :B= 0et= 0. libre b) Montrer que le vecteurDest uniforme dans le quartz. c) À la séparation de deux milieux 1 et 2, on rappelle que la discontinuité de la composante normale du déplacement électrique est liée à la densité surfacique

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de charges libres à l’interface parn12 (D2–D1)=, oun12 est le vecteur libre unitaire normal à la surface de séparation orienté du milieu 1 vers le milieu 2. Sachant queD est nul dans les électrodes métalliques, exprimerDle dans quartz en fonction de la chargeq(t)de l’électrode située enx= –e2et de l’aire Sdes électrodes. III.C.4) a)µdésignant la masse volumique du cristal, établir l’équation différentielle du mouvement d’une tranche de cristal comprise au repos entre les sectionsx etx+x. b) Montrer que(x,t) est solution d’une équation de d’Alembert et préciser l’expression de la célérité de propagationcen fonction du module d’YoungEet de la masse volumiqueµ. Vériﬁer l’homogénéité dimensionnelle du résultat. 10 c):Application numérique Pour le quartz, on aE= 8,610 Pa et 3 –3 µ= 2,710 kgm. Calculer numériquementcet commenter. III.C.5) On applique maintenant une forceF constante sur la section d’abs-cisse initialex=e2, la section d’abscissex= –e2étant maintenue immobile. Cette opération est réalisée de façon quasi-statique, tandis qu’un générateur maintient une différence de potentiel continueuentre les deux électrodes. a) Déterminer l’expression de l’élongation locale(x)à l’équilibre en fonction dee,xet de l’allongement totalX=(e2). b) Exprimer le champ électrique en fonction deuet dee. c) Établir l’identité thermodynamiquedU=TdS+FdX+eSEdD oùU dési-gne l’énergie interne,Tla température thermodynamique etSl’entropie du quartz. d) Montrer que les coefﬁcients piézo-électriquesh eth' s’expriment simple-ment en fonction deSet de dérivées secondes deU. En déduire une relation entreheth'. 9 e)Application numérique : On donnee= 1 mm,h= 4,310 S.I.,et –11 –1 = 4,5 = 410 Fm. Calculer l’allongementXcristal soumis à une du 0 forceFnulle et à une tension continueu= 100 V; commenter. III.D - Mode vibrant Une alternative aux modes statiques décrits précédemment est une étude du comportement de la poutre en régime d’oscillations forcées. III.D.1) Pour simpliﬁer l’étude du mouvement de la pointe liée à la poutre, on considérera que ce mouvement est identique à celui d’un système masse-ressort, l’élongation de la masse correspondant au déplacement transversal de l’extré-mité de la poutre.

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a) Soit un ressort de raideurk, à l’extrémité inférieure duquel on accroche une massem. On désigne parl’écart par rapport à la position d’équilibre. Établir l’équation différentielle ensi l’extrémité supérieure est ﬁxe et les frottements négligeables. b) On impose à l’extrémité supérieure un mouvement oscillant de loi horaire (t)=sint. Déterminer l’amplitudeHdes oscillations de la massemet la 0 pulsationpour laquelle cette amplitude présente une singularité. 0 c) Expérimentalement, on trouveHS= 100 pour=. Montrer que ce 0 résultat est compatible avec un frottement proportionnel à la vitesse de la massemet préciser la valeur du facteur de qualitéQde l’oscillateur. d) Outre la force de frottement précédente et la force de rappel élastique, la massemest soumise à une forceF( )dépendant de la position de cette masse. La position d’équilibre du système est alors. On effectue un développement 0 limité à l’ordre1deFau voisinage de; montrer que l’on obtient alors un 0 oscillateur amorti de pulsation=km, oùkune raideur effective est s’exprimant en fonction de la raideurkdu ressort et d’une dérivée deF. III.D.2) a) On applique le modèle dynamique précédent au microscope à force atomique. En utilisant l’équation (4), déterminer la valeur du coefﬁcient de raideurken fonction deCetL. b) Estimer l’ordre de grandeur de la masse oscillantemet en déduire celui de la pulsation propre d’un microscope utilisant la poutre étudiée dans la seconde partie. c) Justiﬁer pourquoi on dit qu’en mode vibrant, le microscope à force atomique est sensible aux gradients de force ? d) Un déplacement du pic de résonance vers les basses fréquences indique-t-il une force attractive ou répulsive ? III.D.3) Les valeurs des déplacements mesurés avec les cales piézo-électriques nécessitent d’analyser l’inﬂuence de l’agitation thermique sur les oscillations erratiques de l’extrémité de la poutre. En considérant que l’oscillateur a un seul degré de liberté, un théorème de Mécanique Statistique, le théorème d’équipar-tition de l’énergie, indique que l’énergie cinétique moyenne et l’énergie poten-–23 –1 tielle moyenne valent chacune(12)k T, oùk= 1,3810 JK. Déterminer B B l’écart quadratique moyen de la position de la masse par rapport à sa position d’équilibre dû à l’agitation thermique. Faire l’application numérique pour la température ambiante. Y a-t-il lieu de refroidir le système expérimental ?

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