Capesint composition de mathematiques 2007 capes maths capes de mathematiques

CAPES INTERNE 2007ÉNONCÉProblème 1Le but de ce problèmùe est l’étude de quelques spécificités des fonctionsnumériques c et s de la variable réelle x définies sur R respectivement parx ¡x x ¡xe +e e ¡ec(x)= et s(x)= :2 2Les trois parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment l’unede l’autre.Partie IMajorations, minorations, encadrements¡21. Calculer c(0) ets(0); donner une valeur approchée de c(1) et de s(1) à 10près.2. Démontrer que la fonction c est paire et que la fonction s est impaire.3. 3.1. Justifier que, pour tout réel x, on a2 2¤ [c(x)] ¡[s(x)] =1¤ c(x)>1.3.2. Vérifier que, pour tout réel x positif, on a :06s(x)