Capesint composition de mathematiques 2007 capes maths capes de mathematiques

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CAPES INTERNE 2007ÉNONCÉProblème 1Le but de ce problèmùe est l’étude de quelques spéciﬁcités des fonctionsnumériques c et s de la variable réelle x déﬁnies sur R respectivement parx ¡x x ¡xe +e e ¡ec(x)= et s(x)= :2 2Les trois parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment l’unede l’autre.Partie IMajorations, minorations, encadrements¡21. Calculer c(0) ets(0); donner une valeur approchée de c(1) et de s(1) à 10près.2. Démontrer que la fonction c est paire et que la fonction s est impaire.3. 3.1. Justiﬁer que, pour tout réel x, on a2 2¤ [c(x)] ¡[s(x)] =1¤ c(x)>1.3.2. Vériﬁer que, pour tout réel x positif, on a :06s(x)

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CAPES INTERNE 2007 ENONCE

ProblÈme 1

Le but de ce problÈmÙe est l’Étude de quelques spÉciﬁcitÉs des fonctions numÉriquescetsde la variable rÉellexdÉﬁnies surRrespectivement par x−x x−x e+e e−e c(xet) = s(x) =. 2 2 Les trois parties de ce problÈme peuvent tre traitÉes indÉpendamment l’une de l’autre.

Partie I Majorations, minorations, encadrements −2 1. Calculerc(0)ets(0); donner une valeur approchÉe dec(1)et des(1)À10 prÈs. 2. DÉmontrer que la fonctioncest paire et que la fonctionsest impaire. 3. 3.1. Justiﬁer que, pour tout rÉelx, on a 2 2 ¨[c(x)]−[s(x1)] = ¨c(x)>1. 3.2. VÉriﬁer que, pour tout rÉelxpositif, on a :

06s(x)< c(x).

4. 4.1. Justiﬁer que les fonctionscetssont dÉrivables surR; dÉterminer les fonctions dÉrivÉes correspondantes. 4.2. Dresser le tableau de variation de chacune des fonctionscets. 4.3. Tracer les courbes reprÉsentatives des fonctionscetsdans un mme repÈre orthonormal du plan d’unitÉ graphique 1 cm. 5. 5.1. DÉmontre que, pour tout rÉelxpositif, on a :

x6s(x).

5.2. En dÉduire les inÉgalitÉs suivantes pour tout rÉelxpositif : 2 x ¨1 +6c(x); 2