CAPES interne février

Niveau: Supérieur, Bac+5
[ CAPES interne 2 février 2010\ Problème1 Ce problème a pour objet l'étude d'une courbe de Gauss et l'approximation d'une intégrale Partie I – Inégalités des accroissements finis Soit m et M deux nombres réels tels que : m 6M . Soit I un intervalle de R (non vide et non réduit à un point) et g une fonction définie et dérivable sur l'intervalle I telle que, pour tout nombre réel x de l'intervalle I , on a : m 6 g ?(x)6M . On fixe un nombre réel a dans l'intervalle I et on introduit les fonctions ? et? défi- nies par : ?(x)= g (x)? g (a)?m(x?a), ?(x)= g (x)? g (a)?M(x?a). 1. Étudier le sens de variation des fonctions ? et? sur l'intervalle I . 2. En déduire que, pour tous nombres réels a et b appartenant à l'intervalle I et tels que a6 b, on a la double inégalité suivante : m(b?a)6 g (b)? g (a)6M(b?a). Partie II – Étude d'une fonction gaussienne et de sa courbe représentative Soit f la fonction définie sur R par f (x)= e? x2 2 .

• solution de l'équation différentielle linéaire


• droites verticales d'équa


• demi droite


• courbes ?


• existence dépassant les limites du programme du concours


• ordonnée du point