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CAPES interne février

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Niveau: Supérieur, Bac+5
[ CAPES interne 2 février 2010\ Problème1 Ce problème a pour objet l'étude d'une courbe de Gauss et l'approximation d'une intégrale Partie I – Inégalités des accroissements finis Soit m et M deux nombres réels tels que : m 6M . Soit I un intervalle de R (non vide et non réduit à un point) et g une fonction définie et dérivable sur l'intervalle I telle que, pour tout nombre réel x de l'intervalle I , on a : m 6 g ?(x)6M . On fixe un nombre réel a dans l'intervalle I et on introduit les fonctions ? et? défi- nies par : ?(x)= g (x)? g (a)?m(x?a), ?(x)= g (x)? g (a)?M(x?a). 1. Étudier le sens de variation des fonctions ? et? sur l'intervalle I . 2. En déduire que, pour tous nombres réels a et b appartenant à l'intervalle I et tels que a6 b, on a la double inégalité suivante : m(b?a)6 g (b)? g (a)6M(b?a). Partie II – Étude d'une fonction gaussienne et de sa courbe représentative Soit f la fonction définie sur R par f (x)= e? x2 2 .

solution de l'équation différentielle linéaire

droites verticales d'équa

demi droite

courbes ?

existence dépassant les limites du programme du concours

ordonnée du point

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Publié par	apmep
Publié le	01 février 2010
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Extrait

[CAPES interne 2 février 2010\

Problème 1

Ce problème a pour objet l’étude d’une courbe de Gauss et l’approximation d’une intégrale

Partie I – Inégalités des accroissements ﬁnis

SoitmetMdeux nombres réels tels que :m6M. SoitIun intervalle deR(non vide et non réduit à un point) etgune fonction déﬁnie et dérivable sur l’intervalleItelle que, pour tout nombre réelxde l’intervalleI, on a : ′ m6g(x)6M. On ﬁxe un nombre réeladans l’intervalleIet on introduit les fonctionsϕetψdéﬁ nies par :

ϕ(x)=g(x)−g(a)−m(x−a), ψ(x)=g(x)−g(a)−M(x−a). 1.Étudier le sens de variation des fonctionsϕetψsur l’intervalleI. 2.En déduire que, pour tous nombres réelsaetbappartenant à l’intervalleIet tels quea6b, on a la double inégalité suivante : m(b−a)6g(b)−g(a)6M(b−a).

Partie II – Étude d’une fonction gaussienne et de sa courbe re présentative

2 x − 2 Soitfla fonction déﬁnie surRparf(x)=e . 1.Étudier la parité de la fonctionfet son sens de variations sur l’intervalle [0 ;+∞[. 2.Dresser le tableau de variations de la fonctionfsurR, en indiquant les limites defen+∞. 3. Étude de la fonctionf’ ′ a.Montrer quefest solution de l’équation différentielle linéairey+x y=0. ′ b.En déduire que la fonctionfest dérivable surRet que, pour tout nombre ′′ réelx, sa dérivéefvériﬁe la relation suivante : ¡ ¢ ′′2 f(x)=x−1f(x).

′ c.En déduire le sens de variation de la fonctionfsur l’intervalle [0 ;+∞[. ′′ 4.Montrer que, pour tout nombre réelxtel que 06x61, on a :−16f(x)60. 5.Montrer que pour tous nombres réelsaetbtels que 16a6b61, on a : ′ ′ f(b)(b−a)6f(b)−f(a)6f(a)(b−a) et que pour tous nombres réelsaetbtels que 16a6b, on a : ′ ′ f(a)(b−a)6f(b)−f(a)6f(b)(b−a)

Dans toute la suite du problème, on munit le plan euclidien d’un repère ortho ³ ´ −→−→ normal O,ı,, et on noteΓla courbe représentative de la fonction f dans ce repère.

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A. P. M. E. P.

6. Étude des tangentes à la courbeΓ Soitaun nombre réel. On noteTala tangente à la courbeΓau point de coor données (a;f(a)). Pour tout nombre réel x on note désormais u(x)l’ordonnée du point de Ta d’abscisse x. a.Expliciter une expression deu(x). b.On suppose ici que le nombre réela; 1[.appartient à l’intervalle ]0 Démontrer que pour tout nombre réelx; 1], on a :de l’intervalle [0

f(x)6u(x).

Interpréter graphiquement le résultat. c.On suppose ici que le nombre réelaappartient à l’intervalle ]1 ;+∞[. Démontrer que pour tout nombre réelx;de l’intervalle [1 +∞[, on a :

f(x)>u(x).

Interpréter graphiquement le résultat. d.Déterminer le signe def(x)−u(x) suivant les valeurs du nombre réelx dans le cas oùa=1. Interpréter graphiquement le résultat. 7. Étude des cordes de la courbeΓ Soientaetbdeux a.Expliciter une expression dev(x). b.On suppose que les réelsaetbvériﬁent 06a<b61. i. Montrer qu’il existe un réel c appartenant à [a ; b] tel que j’Cc)  v’(c) = O. ii. Démontrer que pour tout nombre réel x de l’intervalle [a ; b], on a : f(x) v(x). iii. Interpréter graphiquement ce résultat. Démontrer de façon analogue que, si les nombres réels a et b appartiennent à l’intervalle [1 ; +00[, on a pour tout nombre réel x de l’intervalle [a ;b] : f(x) v(x). Inter préter graphiquement ce résultat. 8.Tracer, dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 5 cm, la courbeΓainsi que les tangentesT0,T,T1,T2et les droitesD0, 1etD1, 2. 1 2 Dans toute la suite du problème,fdésigne encore la fonction déﬁnie dans la partie II. Le fait quefsoit continue surRjustiﬁe l’existence, pour tous nombres réelsaetb, Z b de l’intégralef(t) dt. a Z Z 1b2 t − 2 On pose :A=f(t) dt, c’estàdire :A=e dt. Les trois parties III, IV et V 0a suivantes proposent de déterminer des valeurs approchées deA.

Partie III  Table de la loi normale centrée réduite

On admettra que l’on déﬁnit une probabilitéPsurRen posant, pour tout nombre réelx: Z Z x 1 1 P(]− ∞;x])=f(t) dt=limx f(t) dt a→−∞ 2π−∞2πa

2 février 2010

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On pourra écrire en particulier : Z +∞ 1 P(]− ∞;+∞[)= pf(t) dt=1. 2π−∞ Cette probabilitéPest celle de la loi normale centrée réduite. 1.Préciser la valeur deP(]− ∞; 0]). 2.ExprimerAen fonction deP(]− ∞; 1]). 3.Dans une table de la loi normale centrée réduite, on lit :

P(]− ∞; 1])≈(arrondi au dix millième).0,841 3

−3 En déduire une approximation de A à 10 près.

A. P. M. E. P.

Partie IV  Approximation par une somme d’aires de rectangles

Le but de cette partie est de déterminer un encadrement deAqui permette d’en −2 fournir une valeur décimale approchée à 10 près. e la suite On considèr (un)n∈Ndéﬁnie de la façon suivante : ∗ µ ¶ n X 1k pour tout entier naturelnstrictement positif,un=f. n n k=1 1.Soitnun entier naturel non nul. a.Démontrer que pour tout entier naturelktel que 16k6n, et pour tout · ¸ k−1k nombre réelt; on de l’intervalle a : n n µ ¶ µ ¶ k k−1 f6f(t)6f. n n

b.En déduire que pour tout entier naturel ‘ktel que 16k6n, on a :

µ ¶ Zkµ ¶ 1k1k−1 n f6f(t) dt6f. k−1 n n n n n 2.Déduire de la question précédente que, pour tout entier naturelnnon nul, on a les inégalités :

1 1 un6A6+un−. n ne 3. a.Déduire de la question précédente un encadrement deunvalable pour tout entier naturelnnon nul. b.Justiﬁer que la suite (unconvergente et préciser sa limite.) est ∗ n∈N 4.En utilisant les inégalités établies à la question IV. 2., déterminer une valeur de −2 ntelle queunsoit une valeur approchée par défaut deAprès. (On neà 10 demande pas de calculer ici cette valeur approchée.)

Partie V  Approximation par une somme d’aires de trapèzes

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A. P. M. E. P.

On se propose dans cette partie d’obtenir une autre valeur approchée deA, en utili sant des résultats établis dans la partie II. v:e par Pour cela, on considèrera les suites (n)n∈Nt (wn) déﬁnies ∗ ∗ n∈N

µ ¶ µ ¶ n−1n X X 1 1k21 1 k−1 ∗ pour toutndeN,vn=f(0)+f+f(1) etwn=f. 2n n n2n n2n k=1k=1

Soientaetbdeux nombres réels de l’intervalle [0 ; 1] tels quea<b. 1.Justiﬁer que la partie de la courbeΓsituée entre les droites verticales d’équa tionsx=aetx=best située en dessous deTa+bet au dessus deDa,b. 2 2.Démontrer la double inégalité suivante : Z µ ¶ b f(a)+f(b)a+b (b−a)6f(t) dt6(b−a)f. 2a2

3.En déduire que pour tout entier naturelnnon nul, on a :

vn6A6wn.

−3 4.Expliciterv3etw3près, puis donner une valeur décimale approchée à 10 −3 par défaut dev3près par excès deet une valeur décimale approchée à 10 w3. −2 En déduire une valeur décimale approchée deAà 10 près. suitesvetw 5. Convergence des (n)n∈N(n)n∈N ∗ ∗ Z b ′′ a.En intégrant par parties (t−b)f(t) dt, montrer que : a+b 2 µ ¶ µ ¶ Z b a+b(b−a)a+b ′ ′′ f(b)=f+f−(t−b)f(t) dt. a+b 2 2 2 2 b.Montrer de même que : µ ¶ µ ¶ Za+b b a+b(b−a)a+b 2 ′ ′′ f(a)=f−f−(a−t)f(t) dt. 2 2 2a

c.En utilisant II.4, justiﬁer que l’on a : · ¸ a+b ′′ •pour tout réeltde ;b, 06(t−b)f(t)6(b−t) ; 2 · ¸ a+b ′′ •pour tout réeltdea0; , 6(a−t)f(t)6(t−a). 2 d.Déduire de V. 5. a., V. 5.b. et de V. 5. c. que : µ ¶ a+b f(a)+f(b) 1 2 06f−6(b−a) . 2 2 8

1 e.Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul : 06wn−vn6. 2 8n f.er naturelEn utilisant V. 3 et V. 5. 5, justiﬁer que l’on a, pour tout enti n non nul :

1 1 06A−vn6et 06wn−A6. 2 2 8n8n En déduire que les suitesv wconvergent versA. (n) et (n)n∈N ∗ ∗ n∈N 6. Estimation plus ﬁne de l’erreur commise par défaut

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A. P. M. E. P.

Z b ′′ a.En intégrant par parties (t−a)(t−b)f(t) dt, montrer que : a Z Z b b f(a)+f(b) 1 ′′ f(t) dt=(b−a)+(t−a)(t−b)f(t) dt. a2 2a

b.En utilisant II. 4. justiﬁer que pour tout réeltde [a;b] :

′′ 06(t−a)(t−b)f(t)6(t−a)(b−t).

c.En utilisant V. 6. a., déduire que : Z b f(a)+f(b) 1 3 O6f(t) dt−(b−a)6(b−a) . a2 12 d.Montrer que, pour tout entier naturelnstrictement positif : 06A−vn6 1 . 2 12n e.À partir de quelle valeur deneston sûr quevnsoit une valeur approchée −3 deAprès ?à 10 f.En notantpla valeur dentrouvée à la question précédente, déterminer une valeur approchée devpà la précision de la calculatrice. Ce résultat −3 estil en accord avec l’approximation à 10 près deAobtenue à la partie III par lecture de la table de la loi normale centrée réduite ?

Géométrie

Ce problème a pour but d’établir l’inégalité isopérimétrique dans le cas des poly gones convexes et d’établir le résultat suivant :

parmi tous les polygones convexes ayantncôtés et un périmètre ﬁxép, le polygone régulier est de plus grande aire.

Dans tout le problème, onadmettra l’existence d’un polygone convexe d’aire maxi male parmi tous les polygones convexes ayant le même nombre d e côtés, la dé monstration de cette existence dépassant les limites du programme du concours.

Rappels et notations

On travaille dans le plan affme euclidien.  •Si A, B et C sont trois points du plan (avec A6=B et A6=C), on note ABC l’angle géométrique saillant (mesuré dans [0,π]) délimité par les demidroites [BA) et [BC). •gment [AB] estLa distance entre deux points A et B ainsi que la longueur du se notée AB. •Par abus de notation, si (AH) est la hauteur du triangle ABC is sue de A, on ap pellera également hauteur la longueur AH du segment [AH], lo rsqu’il n’y a pas d’ambiguïté. •Par commodité d’écriture, on pourra noterP(P) le périmètre d’un polygonePet A(P) son aire. ′ ′ ′ •On dira que des triangles ABC et A B C sont supersemblables s’il existe une si ′ ′ ′ militude qui transforme respectivement A en A , B en B et C en C . •On rappelle qu’un quadrilatère est croisé s’il possède au mo ins deux côtés non consécutifs qui ont un point commun. •On dira qu’un polygone est convexe si ses sommets sont dans un même demi plan par rapport à n’importe quel côté du polygone. Dans tout le problème, il sera possible d’afﬁrmer sans démon stration rigoureuse qu’un polygone est convexe ou non, en se ﬁant à la conﬁguratio n géométrique étu diée.

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Partie A  Résultat préliminaire

A. P. M. E. P.

Dans cette partie, nous établissons le résultat suivant : « parmi tous les triangles dont on ﬁxe le périmètre et un côté, celui qui a la plus grande aire e st le triangle isocèle ». On considère trois points A, B et C non alignés du plan affme eu clidien.    On noteα,β,γles mesures respectives des angles géométriques BAC, CBA, ACB,et on pose :x=BC,y=AC,c=AB. On noteSl’aire du triangle ABC etpson périmètre. On ﬁxe dans cette partie la base AB et le périmètrep. 1.Montrer que l’on a : 2 2 2 y=c+x−2c xcosβ.

Cette relation est connue sous le nom de théorème d’AlKashi. 1¡ ¢ ¡ ¢ 2 2 2 2 2.En déduire que : sinβ=c+x)−y y−(c−x) . 2c x c xsinβ 3.Montrer que :S=. 2 4.En déduire la formule de Héron : ³ ´ ³ ´ ³ ´ p p p p S= −c−x−y. 2 2 2 2

2 2 5.Montrer queSs’exprime sous la forme :S=k(m−x)(c+x−m), oùketm sont des constantes que l’on déterminera en fonction decetp. Prouver que la constantekest strictement positive. 2 6.Montrer queSatteint un maximum pour une valeur dexque l’on détermi nera en fonction decetp. 7.En déduire que le triangle d’aire maximale est le triangle isocèle.

Partie B  Cas de polygones particuliers

I. Les triangles

1.Calculer l’aire d’un triangle équilatéral en fonction de son périmètrep. On considère un triangle ABC de périmètre donnépet qui serait d’aire maxi male parmi tous les triangles de même périmètrep. 2. a.On suppose dans cette question que BC6=AC. ′ Montrer que l’on peut construire un triangle ABC de périmètrepet d’aire plus grande que celle de ABC. b.En déduire que ABC est un triangle équilatéral. 3.Montrer que tous les triangles ayant un périmètrepet une aireSvériﬁent l’inégalité isopérimétrique suivante :

Conclure.

II. Les quadrilatères

2 p S6. 12 3

On considère un quadrilatère non croisé ABCD de périmètre ﬁxépet qui serait d’aire maximale parmi tous les quadrilatères non croisés de même périmètrep. 1.Montrer par l’absurde que ABCD est un quadrilatère convexe ( quitte à effec tuer une permutation circulaire des points A, B, C et D on pourra supposer que le point A est à l’intérieur du triangle BCD et on pourra const ruire à partir de ABCD un quadrilatère non croisé de même périmètre et d’aire plus grande).

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A. P. M. E. P.

2.On suppose dans cette question que AB6=BC. Prouver que l’on peut construire un quadrilatère non croisé de même péri mètre que ABCD et d’aire plus grande. 3.En déduire que ABCD est un losange.  4.On noteα=BAD. Calculer l’aire du losange ABCD en fonction depet deα. 5.Pour quelle valeur deαcette aire estelle maximale ? 6.En déduire que ABCD est un carré. 7.Montrer que tous les quadrilatères non croisés ayant un périmètrepet une aireSvériﬁent l’inégalité isopérimétrique suivante :

Conclure.

2 p S6. 16

Partie C  Polygones ayant plus de quatre côtés

I. Résultat auxiliaire ′ ′ ′ On suppose que le triangle ABC est rectangle en A et que les tri angles ABC et A B C sont supersemblables. ′ ′ ′ ′ ′ ′ Montrer que l’on a : BC×= ABB C ×A B + AC×A C .

II. Cas des polygones àncôtés

Dans cette partie,nest un entier ﬁxé strictement plus grand que 4, et on considère des polygones convexes ayantncôtés. On suppose que trois sommets consécutifs ne sont pas alignés. On appelle angle interne d’un polygone convexe tout angle gé ométrique saillant formé par un sommet du polygone et délimité par les deux côtés du polygone is sus de ce sommet. On considère un polygonePconvexe ayantncôtés de périmètre ﬁxépet qui serait d’aire maximale parmi tous les polygones convexes ayantncôtés de même péri mètrep. On note dans la suite A1A2, ... , Anlesnsommets consécutifs du polygoneP. ′ 1.Supposons que A1A26=A2A3. Prouver que l’on peut construire un polygoneP convexe ayantncôtés de périmètrepet d’aire supérieure à celle deP. 2.En déduire que tous les côtés dePsont de même longueur. On admet dans cette partie le résultat suivant, dû à Zénodore (mathématicien e grec du II siècle avant J.C.).

′ E

C ′ C

À partir de deux triangles isocèles AEB et GCD tels que : AE = EB = GC = CD , on ′ ′ peut construire deux autres triangles AE B et GC D qui vériﬁent les conditions suivantes :

•

′ ′ AE B et GC D sont isocèles et semblables,

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A. P. M. E. P.

′ ′ •P(AEB) +P(GCD) =P(AE B) +P(GC D), ′ ′ •A(AEB) +A(GCD) <A(AE B) +A(GC D). Ce résultat sera démontré dans la partie III qui suit. 3.Supposons qu’il existe deux angles internes de P non consécutifs qui soient de mesure différente. En utilisant le résultat de Zénodore admis précédemment, ′ montrer que l’on peut construire un polygonePde même périmètre que celui dePet d’aire plus grande. 4.Montrer quePest un polygone régulier (on distinguera les cas oùnest impair ou pair). 5.Montrer que tous les polygones convexes ayant un périmètrepet une aireS 2 p vériﬁent l’inégalité isopérimétrique suivante :S6. Conclure. π 4ntan n

III. Démonstration du résultat de Zénodore

On considère deux triangles isocèles non plats AEB et GCD tels que :

AE = EB = GC = CD,

et on introduit deux points H et Q du plan tels que :

HQ = AE + EB + GC + CD = 4AE. HR AB Soit R le point de [HQ] déﬁni par=. RQ GD Soit L le milieu de [HR] et P celui de [RQ].

On suppose, sans restreindre la généralité que AB > GD.

′ E

′ C

1.Montrer que HR + RQ>AB + GD. 2.En multipliant chaque membre de l’inégalité précédente par GD, montrer que RQ>GD. En déduire que HR>AB. ′ ′ On construit deux triangles AE B et GC D tels que : ′ ′ ′ ′ AE = E B = HL = LR et GC = C D = RP = PQ (voir ﬁgure cidessus). ′ ′ ′ ′ 3.+E BMontrer que : AE >+C DHQ et GC <HQ. ′ ′ 4.Montrer que les triangles AE B et GC D sont supersemblables. 5.Montrer que la somme des périmètres de AEB et GCD est égale à la somme ′ ′ des périmètres de AE B et GC D. HQ 6. a.Montrer que HR>. 2

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