Brevet de technicien supérieur session groupement B

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Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Brevet de technicien supérieur session 2008 - groupement B Exercice 1 12points Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d'une équation différentielle On considère l'équation différentielle (E ) : y ??2y = xex où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur R, et y ? la fonction dérivée de y . 1. Déterminer les solutions définies sur R de l'équation différentielle (E0) : y ??2y = 0. 2. Soit g la fonction définie sur R par g (x)= (?x ?1)ex . Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l'équation diffé- rentielle (E ). 3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E ). 4. Déterminer la solution f de l'équationdifférentielle (E ) qui vérifie la condition initiale f (0)= 0. B. Étude locale d'une fonction Soit f la fonction définie sur R par f (x)= e2x ? (x +1)ex . Sa courbe représentative C est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous. 1 2 3 4 5 ?1 ?2 1 2?1?2?3?4?5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 C

?? e2x

transformation de laplace

tension aux bornes du condensateur

transformationde laplace aux deuxmembres de l'équa

axe des abscisses

solution particulière de l'équation diffé- rentielle

equation différentielle

feuille de papier millimétré

Sujets

Transformée de Laplace

Équation différentielle

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Extrait

Brevet de technicien supérieur session 2008  groupement B

Exercice 112points Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d’une équation différentielle ′x On considère l’équation différentielle (E) :y−2y=xe oùyest une fonction de la ′ variable réellex, déﬁnie et dérivable surR, etyla fonction dérivée dey. 1.Déterminer les solutions déﬁnies surRde l’équation différentielle (E0) : ′ y−2y=0. 2.Soitgla fonction déﬁnie surRpar x g(x)=(−x−1)e .

Démontrer que la fonctiongest une solution particulière de l’équation diffé rentielle (E). 3.En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). 4.Déterminer la solutionfde l’équation différentielle (E) qui vériﬁe la condition initialef(0)=0. B. Étude locale d’une fonction Soitfla fonction déﬁnie surRpar

2x x f(x)=e−(x+1)e .

Sa courbe représentativeCest donnée dans un repère orthogonal cidessous.

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 -5 -4 -3 -2 -1 0 −5−4−3−2−1

-1 −1

-2 −2

1 1

2 2

Brevet de technicien supérieur

A. P. M. E. P.

′x x 1. a.Démontrer que pour tout réelx,f(x)=e (2e−2−x). ′ b.En déduire le coefﬁcient directeurf(0) de la tangenteTà la courbeC au point d’abcisse 0. Interpréter graphiquement ce résultat. 2. a.Déterminer le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la 2x fonctionx→7−e . b.Démontrer que le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonctionfest : 2 x 2 f(x)= +xε(xlim) avecε(x)=0. x→0 2 C. Calcul intégral Z 0,3 2 x 1.On noteI=dx. −0,32 Démontrer queI=0, 009. Z 0,3 2x 2.On noteJ=e dx. −0,3 ¡ ¢ 0,6−0,6 Démontrer queJ=0, 5e−e . Z 0,3 x 3.On noteK=(x+1)e dx. −0,3 ¡ ¢ 0,3−0,3 Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, queK=0, 3e+e . Z 0,3 4.On noteL=f(x)dx. −0,3 a.Déduire des questions précédentes la valeur exacte deL. −5 b.Donner la valeur approchée deL.arrondie à 10 c.Vériﬁer que la valeur exacte deIet la valeur approchée deLobtenue à la −4 question précédente différent de 4,5×10 .

Exercice 28 points La question 5. de cet exercice peutêtre traitée de façon indépendante

On considère le circuit représenté cidessous alimenté à tout instanttpar une ten sione(t) et on notes(t) la tension aux bornes du condensateur. R

e(t)

s(t)

′ L’équation différentielle régissant ce circuit est (1) :RC s(t)+s(t)=e(t) ′ avecs(t)=0 pourt60 et oùsest la dérivée de la fonctions. En utilisant la transformation de Laplace, on se propose de rechercher la tension s(t) aux bornes du condensateur dans le cas suivant :

Groupe B

juin 2008

Brevet de technicien supérieur

A. P. M. E. P.

•e(t)=U(t)−U(t−Ofonction, 1) où laUest la fonction échelon unité déﬁnie par U(t)=0 sit<0 etU(t)=1 sit>0 ; •R=10ΩetC=O, 004F. ′ Pour cela on admet que les fonctionss,seteadmettent des transformées de La place. On noteE(p)=L[e(t)] etS(p)=L[s(t)]. 1.Sur une feuille de papier millimétré, tracer, dans un repère orthogonal, la re présentation graphique deesur l’intervalle [0 ; 0,2]. On prendra comme unité 1 cm pour 0,02 sur l’axe des abscisses et 10 cm pour 1 sur l’axe des ordonnées. 2.DéterminerE(p)=L[e(t)]. 3. a.En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équa tion différentielle (1), déterminer une expression deS(p) en supposant ¡ ¢ + ques0=0. b.Montrer queS(p) peut s’écrire sous la forme : µ ¶ 1 11 1 −0,1p S(p)− −= −e . p p+25p p+25 · ¸ 1 1 −1 4. a.DéterminerL−. p p+25 · ¸ 1 1 −1−0,1p b.En déduireL−e p p+25 −1 c.En déduire la tensions(t)=L[S(p)]. ¡ ¢ −25t−25t2,5 5.On admet que sit∈[0 ;0, 1[,s(t)=1−e etsit∈[0, 1 ;+∞[,s(t)=e e−1 .

a.Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des −2 valeurs décimales arrondies à 10près.

t0 0,0250,05 0,0750,100 0,125 0,150,175 0,2 s(t) b.Construire une représentation dessur le même graphique que celle de e.

Formulaire

L f(t)U(t) −1 L

F(p)

On rappelle les formules suivantes sur la transformation de Laplace.

L[λf+µg]=λL[f]+µL[g].

1 L[U(t)]=. p 1 −at L[f(t)eU(t)]=. p+a Plus généralement, si on noteL[f(t)U(t)]=F(p) alors,

Groupe B

−τp L[f(t−τ)U(t−τ)]=F(p)e

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Brevet de technicien supérieur

Groupe B

−at L[f(t)eU(t)]=F(p+a);

′ + L[f(t)U(t)]=p F(p)−f(O);

A. P. M. E. P.

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