Brevet de technicien supérieur session groupement A2

5 pages

Français

Brevet de technicien supérieur session groupement A2

apmep

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

5 pages

Français

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

A propos
Informations
Extrait

Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Brevet de technicien supérieur session 2010 - groupement A2 Exercice 1 10 points Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O, ?? ı , ?? ? ) . On rappelle qu'une courbe de Bézier associée à n+1 points de contrôle successifs Ai , 06 i 6n, est l'ensemble des points M(t) tels que : ?????? OM(t) = n ∑ i=0 Bi ,n (t) ???? OAi où Bi ,n (t)=C i n t i (1? t)n?i avec t ? [0 ; 1]. Partie A L'objectif de cette partie est d'étudier la courbe de Bézier C1 associée aux quatre points de contrôle successifs A(4 ; 0), 8(12 ;6), R(0 ; 6) et 0(0 ; 0). 1. Développer, réduire et ordonner le polynôme B2, 3(t). 2. On admet que : B0,3(t) = ?t3+3t2?3t +1 B1,3(t) = 3t3?6t2+3t B3,3(t) = t3. Montrer que les coordonnées du point M(t) de la courbe C1 sont : { x = f1(t)= 32t3?60t2+24t +4 y = g1(t)=?18t2+18t pourt ? [0 ; 1].

algorithme de construction par barycentres suc- cessifs

document réponse

points de contrôle successifs de la courbe de bézierc2 sonto

courbe c1

contrainte extérieure au système

solution de l'équation différentielle

Informations

Publié par	apmep
Nombre de lectures	49
Langue	Français

Extrait

Brevet de technicien supérieur session 2010  groupement A2

Exercice 110 points Spécialité IRIST ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,. On rappelle qu’une courbe de Bézier associée àn+1 points de contrôle successifs Ai, 06i6n, est l’ensemble des pointsM(t) tels que : n X −−−−→−−→ i in−i B(t)=Ct(1−t) avect∈[0 ; 1]. OM(t)=i,nOAioùBi,n(t)n i=0 Partie A L’objectif de cette partie est d’étudier la courbe de BézierC1associée aux quatre points de contrôle successifs A(4 ; 0), S(12 ; 6), R(0 ; 6) et O(0 ; 0). 1.Développer, réduire et ordonner le polynômeB2, 3(t). 2.On admet que : 3 2 B0,3(t)= −t+3t−3t+1 3 2 B1,3(t)=3t−6t+3t 3 B3,3(t)=t. Montrer que les coordonnées du pointM(t) de la courbeC1sont : ½ 3 2 x=f1(t)=32t−60t+24t+4 pourt∈[0 ; 1]. 2 y=g1(t)= −18t+18t o 3.En utilisant la courbeC1tracée sur ledocument réponse n1, compléter le tableau des variations conjointes des deux fonctionsf1etg1ﬁgurant sur ce même document réponse. 4.Calculer la dérivée de la fonctiong1. En déduire la valeurt1du paramètretpour laquelle l’ordonnée du pointM(t) est maximale. 5.Déterminer la valeurt0du paramètretpour laquelle l’abscisse du pointM(t) est maximale. −→ 6.est tangent à la courbeMontrer que le vecteur ASC1au point A.

Partie B On désigne paraun nombre réel. o On souhaite compléter la ﬁgure du1document réponse navec une courbe de Bé zierC2en respectant les contraintes suivantes : •les points de contrôle successifs de la courbe de BézierC2sont O(0 ; 0), E(0 ; a), µ ¶ 4 F ;−A(4 ; 0) ;2 et 3 µ ¶ 3 1 •la courbeC2passe par le point G1 ;−du paramètrepour la valeurt. 2 2 Sous ce système de contraintes, les courbesC1etC2ont des tangentes communes aux points A et O.

A. P. M. E. P.

Brevet de technicien supérieur

1.Dans les conditions énoncées ci dessus; la représentation paramétrique de la courbeC2est de la forme : ½ 2 x=f2(t)=4t t∈[0 ;1]. 3 2 y=g2(t)=3(a+2)t−6(a+1)t+3a t Montrer quea= −2. 2.Pour chaque valeur det, l’algorithme de construction par barycentres suc cessifs (appelé algorithme de De Casteljau), permet de construire, le point de paramètretde la courbe de Bézier. 1 Utiliser cet algorithme, pour la valeurdu paramètret, pour retrouver gra 2 phiquement la position du point G. Laisser apparentes les étapes de la construction. o 3.Tracer la courbeC2sur ledocument réponse n1.

Exercice 210 points On considère un système physique dont l’état est modélisé par la fonctionyde la variable réellet, solution de l’équation différentielle :

′′ y(t)+4y(t)=e(t) (1), où la fonctionereprésente une contrainte extérieure au système. Partie A Dans cette partie, on suppose quee(t)=20 pour tout nombre réelt. L’équation dif férentielle (1) s’écrit alors sous la forme :

′′ y(t)+4y(t)=20 (2). 1.Déterminer la fonction constantehsolution particulière de l’équation diffé rentielle (2). 2.Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (2). En déduire l’expression de la fonctionfsolution de l’équation différentielle ′ (2) qui vériﬁe les conditionsf(0)=0 etf(0)=0.

Partie B Dans cette partie, on étudie un moyen d’amener le système vers un état d’équilibre de manière « lisse ». À cette ﬁn, on soumet le système à une contrainte extérieure modélisée par la fonc tionedéﬁnie par :

e(t)=8tU(t)−8(t−τ)U(t−τ), oùτdésigne un nombre réel strictement positif. On rappelle que la fonction échelon unitéUest déﬁnie par : ½ U(t)=0 sit<0 U(t)=1 sit>0. Une fonction déﬁnie surRest dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]− ∞; 0[. On appellegla fonction causale telle que :

et vériﬁant :

Groupe A2

′′ g(t)+4g(t)=e(t)

12 mai 2010

A. P. M. E. P.

′ g(0)=0 etg(0)=0.

Brevet de technicien supérieur

On noteG(p) la transformée de Laplace de la fonctiongetE(P) la transformée de Laplace de la fonctione. 1.ExprimerE(P) en fonction depet deτ. 2.En déduire que : 8¡ ¢ −τp G(p)=¡ ¢1−e 2 2 p p+4 3.Déterminer les constantes réellesAetBtelles que : 8A B ¡ ¢= + 2 22 2 p p+4p p+4 8 4.Déterminer alors l’original de¡ ¢ 2 2 p p+4 5.En déduire que, pour tout nombre réelt:

g(t)=g0(t)−g0(t−τ) avecg0(t)=(2t−sin(2t))U(t). 6.Montrer que pourt>τ, on a :

g(t)=2τ−sin(2t)+si n(2t−2τ).

7. Onsuppose maintenant queτ=π. a.Simpliﬁer l’expression deg(t) pourt>τ. b.La courbe représentative de la fonctione, pourτ=π, est tracée sur la o ﬁgure du2document réponse n. Sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonctiong.

Groupe A2

12 mai 2010

A. P. M. E. P.

Brevet de technicien supérieur

o Document réponse n1, à rendre avec la copie (exercice 1)

O −2 3 4 5 6 71 1

−1

−2

t t t00 11

′ f(t) 1

′ g(t) 1

f1(t)

g1(t)

Groupe A2

−

12 mai 2010

A. P. M. E. P.

Groupe A2

Brevet de technicien supérieur

o Document réponse n2, à rendre avec la copie (exercice 2)

10π 9π 8π 7π 6π 5π 4π 3π 2π 1π 0π 1π 2π

1π

2π

3π

12 mai 2010

Univers
Ebooks
Livres audio
Presse
Podcasts
BD
Documents

Brevet de technicien supérieur session groupement A2

YouScribe

Le catalogue

Le service

Les conditions