Brevet de technicien supérieur Nouvelle–Calédonie session groupement B

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Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Brevet de technicien supérieur Nouvelle–Calédonie session 2009 - groupement B Exercice 1 12 points Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante A. Résolution d'une équation différentielle On considère l'équation différentielle (E) : y ??+2y ??3y =?4ex , où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur R, y ? la fonction dérivée de y et y ?? sa fonction dérivée seconde. 1. Déterminer les solutions définies sur R de l'équation différentielle (E0) : y ??+? 2y ??3y = 0. 2. Soit h la fonction définie sur R par h(x)=?xex . Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l'équation diffé- rentielle (E). 3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie les condi- tions initiales f (0)= 2 et f ?(0)= 1. B. Étude d'une fonction Soit f la fonction définie sur R par f (x)= (2? x)ex . Sa courbe représentative C dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. x y O 1 1 1.

masse des accessoires

hasard dans le stock d'accessoires

loi normale

solution particulière de l'équation diffé- rentielle

moyenne µ

accessoires

equation différentielle

Sujets

Loi normale

Accessoire

Équation différentielle

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Extrait

Brevet de technicien supérieur Nouvelle–Calédonie session 2009  groupement B

Exercice 1

12 points

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante

A. Résolution d’une équation différentielle

On considère l’équation différentielle

′′ ′x (E) :y+2y−3y= −4e , ′ oùyest une fonction de la variable réellex, déﬁnie et dérivable surR,yla fonction ′′ dérivée deyetysa fonction dérivée seconde. 1.Déterminer les solutions déﬁnies surRde l’équation différentielle

′′ ′′ (E0) :y+2y−3y=0.

x 2.Soithla fonction déﬁnie surRparh(x)= −xe . Démontrer que la fonctionhest une solution particulière de l’équation diffé rentielle (E). 3.En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). 4.Déterminer la solutionfde l’équation différentielle (E) qui vériﬁe les condi ′ tions initialesf(0)=2 etf(0)=1.

B. Étude d’une fonction

Soitfla fonction déﬁnie surRpar x f(x)=(2−x)e . Sa courbe représentativeCdans un repère orthogonal est donnée cidessous. y

′x 1. a.Démontrer que pour tout réelx,f(x)=(1−x)e . b.ngente àDonner les valeurs exactes des coordonnées du point S où la ta la courbeCest parallèle à l’axe des abscisses.

Brevet de technicien supérieur

A. P. M. E. P.

2. a.Démontrer que le développement limité à l’ordre 3, au voisinage de 0, de 3 x 3 la fonctionfestf(x)=2+x− +xǫ(x) avec limǫ(x)=0. x→0 6 b.Déduire du a. une équation de la tangenteTà la courbeCau point d’abscisse 0. c.Étudier la position relative deCetTau voisinage de ce point.

C. Calcul intégral Z 1 1.On noteI=f(x) dx. 0 a.Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, queI=2e−3. −2 b.Donner la valeur approchée arrondie à 10deI. Z µ¶ 1 3 x 2.On noteJ=2+x−dx. 06 59 a.Démontrer queJ=. 24 −2 b.Donner la valeur approchée arrondie à 10deJ. 3.On désigne parSl’aire, en unités d’aires, de la partie du plan limitée par la courbeC, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx=1. On désigne parS1l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par la 3 x courbe représentative de la fonctionf1déﬁnie surRparf1(x)=2+x−, 6 l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx=1. On admet que, pour toutx1],de l’intervalle [0 ;f1(x)>f(x). Donner la valeur exacte deS1−S. −2 En déduire la valeur approchée arrondie à 10deS1−S.

Exercice 2

Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes

8 points

Une entreprise produit en grande série un accessoire d’un certain type pour l’industrie automobile.

A. Évènements indépendants

Dans cette partie, donner les valeurs exactes des probabilités

Chaque accessoire fabriqué peut présenter deux défauts, que l’on désigne par défaut aet défautb. On prélève au hasard un accessoire dans la production d’une journée. On noteA l’évènement : «l’accessoire présente le défauta» etBl’accessoirel’évènement : « présente le défautb». On suppose queP(A)=0, 02et queP(B)=0, 01. On suppose que les évènementsAetBsont indépendants. 1.Calculer la probabilité qu’un accessoire prélevé au hasard dans la production de la journée présente le défautaet le défautb. 2.Calculer la probabilité qu’un accessoire prélevé au hasard dans la production de la journée présente au moins un des deux défauts. 3.Calculer la probabilité qu’un accessoire prélevé au hasard dans la production de la journée ne présente aucun des deux défautsaetb.

Groupe B

Nouvelle–Calédonie novembre 2009

Brevet de technicien supérieur

A. P. M. E. P.

−1 Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à10

B. Loi binomiale On considère un stock important d’accessoires. On noteEl’évènement : « un acces soire prélevé au hasard dans le stock d’accessoires est défectueux. » On suppose queP(E)=0, 03. On prélève au hasard 20 accessoires dans le stock d’accessoires pour vériﬁcation. Le stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 accessoires. On considère la variable aléatoireXqui, à tout prélèvement ainsi déﬁni, associe le nombre d’accessoires de ce prélèvement qui sont défectueux. 1.Justiﬁer que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2.Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun accessoire ne soit défectueux. 3.Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un accessoire soit défectueux.

C. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale Les accessoires sont livrés par lots de 1 000. On prélève au hasard un lot de 1000 dans le dépôt de l’entreprise. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 1 000 accessoires. On considère la variable aléatoireYqui, à tout prélèvement de 1000 accessoires, associe le nombre d’accessoires défectueux parmi ces 1 000 accessoires. On admet que la variable aléatoireYsuit la loi binomiale de paramètresn=et1 000 p=0, 03. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoireYpar la loi normale de moyenne 30 et d’écart type 5,39. On noteZune variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 30 et d’écart type 5,39. 1.Justiﬁer les valeurs des deux paramètres de cette loi normale. 2.Calculer, à l’aide de la variable aléatoireZ, la probabilité qu’il y ait au plus 25 accessoires défectueux dans le lot de 1 000 accessoires, c’estàdire calculer P(Z625, 5).

D. Intervalle de conﬁance Dans cette partie, on s’intéresse à la masse des accessoires d’un lot important. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100 accessoires dans le lot. SoitMla variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 accessoires prélevés au hasard et avec remise dans le lot associe la moyenne des masses, en grammes, des accessoires de cet échantillon. σ On suppose queMsuit la loi normale de moyenne inconnueµet d’écart type 100 avecσ=5. Pour l’échantillon prélevé, la moyenne obtenue estx=501. 1.Déterminer un intervalle de conﬁance centré surxde la moyenne inconnue µdes masses des accessoires du lot considéré, avec le coefﬁcient de conﬁance 95 %. 2.On considère l’afﬁrmation suivante : « la moyenneµest obligatoirement dans l’intervalle de conﬁance obtenu à la question 1 ». Estelle vraie ? (On ne demande pas de justiﬁcation.)

Groupe B

Nouvelle–Calédonie novembre 2009

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