Couplage fortde deux oscillateursEn pla¸cant de la mati`ere dans une cavit´e optique, on peut obtenir un syst`eme compositecavit´e-mati`ere aux propri´et´es nouvelles, si la mati`ere pr´esente une r´esonance `a une pulsation´egale a` une pulsation de r´esonance de la cavit´e, et si ces deux r´esonances ont des coefficientsd’amortissement faibles devant le coefficient de couplage entre ces syst`emes. Un tel ph´enom`enede couplage fort a ´et´e mis en ´evidence pour des atomes en cavit´e au d´ebut des ann´ees 1980,puis dans des h´et´erostructures de mat´eriaux semi-conducteurs au d´ebut des ann´ees 1990.Le probl`eme comporte trois parties tr`es largement ind´ependantes.La premi`ere partie donne une description purement classique de deux oscillateurs harmo-niques, de mˆeme pulsation de r´esonanceω , et coupl´es lin´eairement; le coefficient de couplage,0homog`ene a` une pulsation, est not´e Ω . Ces oscillateurs sont faiblement amortis : on caract´erise1chaque oscillateur par son coefficient d’amortissement γ ou γ , ´egalement homog`ene `a une1 2pulsation. On consid`ere dans tout le probl`eme que Ω , γ et γ sont tr`es petits devant la pul-1 1 2sation de r´esonance ω . L’objet du probl`eme est d’´etudier comment la dynamique du syst`eme0est modifi´ee suivant l’importance relative des effets de couplage (Ω ) et d’amortissement (γ et1 1γ ) : on distingue ainsi un r´egime de couplage fort et un r´egime de couplage faible ...
Enpla¸cantdelamatie`redansunecavit´eoptique,onpeutobtenirunsyste`mecomposite cavite´-mati`ereauxproprie´te´snouvelles,silamati`erepre´senteunere´sonance`aunepulsation e´galea`unepulsationdere´sonancedelacavite´,etsicesdeuxr´esonancesontdescoefficients d’amortissementfaiblesdevantlecoefficientdecouplageentrecessyste`mes.Untelph´enom`ene de couplage fort ae´te´misene´videncepourdesatomesencavit´eaude´butdesanne´es1980, puisdansdeshe´te´rostructuresdemat´eriauxsemi-conducteursaud´ebutdesanne´es1990.
Relationsmath´ematiquesutiles: ”Fonction” δ de Dirac : Z − + ∞∞ exp( − jωt ) dω = 2 πδ ( t ) Z t 1 t 2 f ( t ) δ ( t − t 0 ) dt = f ( t 0 ) si t 0 ∈ ] t 1 , t 2 [ Z t 1 t 2 f ( t ) δ ( t − t 0 ) dt = 0 si t 0 / ∈ [ t 1 , t 2 ] Onadmettraquedanslecadredescalculsdemande´sdansceprobl`eme,onpeut´ecrire: Z t 1 t 2 f ( t ) δ ( t − t 0 ) dt = f (2 t 0 )si t 0 = t 1 ou t 0 = t 2 Transforme´edeFourierd’unelorentzienne: + Z −∞∞ 1+1( ω ) 2 exp( − jωt ) dω = πa exp( − a | t | ) ( a > 0) a
(1)
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Conventionsd’´ecriture: On note j le nombre complexe tel que j 2 = − 1.Lescandidatspourront,`aleurconvenance, e noter les grandeurs complexes A ou A . On note < []lapartiere´elleet = [ ] la partie imaginaire delaquantit´eentrecrochets.