Agregext probleme de physique option physique 2006 phys /pbagreg/pierre5.dvi

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Condensation de Bose-Einstein dans un pi`ege harmonique Ce probl`eme porte sur la condensation de Bose-Einstein de gaz atomiques. Dans l’´enonc´e, l’abr´eviation C.B.E. sera utilis´ee pour ´evoquer cette condensation. Les premiers r´esultats th´eo- riquesconcernantlaC.B.E.ont´et´eobtenusparEinsteinaud´ebutduvingti`emesi`eclesurungaz parfait d’atomes dans une boˆıte. La C.B.E. en milieu dilu´e a ´et´e observ´ee exp´erimentalement par une ´equipe am´ericaine en 1995 dans un gaz d’atomes de rubidium pi´eg´es. Cette ´equipe a rec¸u le prix Nobel de Physique en 2001 pour ces r´esultats exp´erimentaux spectaculaires. Ce probl`eme comporte deux parties tr`es largement ind´ependantes. La premi`ere partie traite du refroidissement d’atomes neutres par laser et de leur pi´egeage dans un champ magn´etique inhomog`ene. Les r´esultats sont obtenus `a l’aide d’un formalisme classique, sans faire appel `a la m´ecanique quantique. A la ﬁn de cette partie, le pi´egeage des atomes par un champ magn´etique peut ˆetre trait´e de mani`ere ind´ependante du reste du probl`eme. Dans la seconde partie, les aspects thermodynamiques de la C.B.E. sont abord´es pour un gaz d’atomes pi´eg´es dans un pi`ege magn´etique harmonique isotrope. Quelques propri´et´es des condensats de Bose sont ´etudi´ees `a la ﬁn de cette partie. Un feuillet s´epar´e de l’´enonc´e, `a rendre avec les copies, est destin´e au graphe demand´e `a la question 2.1.7 de la seconde partie du probl`eme. Valeurs num´eriques de constantes fondamentales : −12 −1• Permittivit´e di´electrique du vide ............................ ǫ = 8,85 10 F.m0 8 −1• Vitesse de la lumi`ere dans le vide ............................... c = 2,99 10 m.s −34• Constante de Planck ........................................... h = 6,62 10 J.s −23 −1• Constante de Boltzmann ................................... k = 1,38 10 J.KB −24 −1• Valeur absolue du magn´eton de Bohr ........................ ¹ = 9,27 10 J.TB −31• Masse de l’´electron ............................................ m = 9,11 10 kg −19• Charge de l’´electron ........................................... q =−1,60 10 C Valeurs num´eriques associ´ees au rubidium : dans ce probl`eme, sauf indication contraire, les applications num´eriques seront eﬀectu´ees en utilisant les valeurs suivantes, associ´ees aux atomes de rubidium : −25• Masse d’un atome de rubidium ................................. M = 1,42 10 kg • Longueur d’onde des lasers utilis´es pour refroidir les atomes ............. λ = 780 nm • Largeur radiative ................................................. Γ/2π≃ 6 MHz −2• Intensit´e de saturation pour la transition utilis´ee................ I = 1,6 mW.cmsat 1Formulaire : Op´erateurs : • En coordonn´ees cylindriques (ρ,φ,z) : 1∂(ρA ) 1∂A ∂Aρ φ z div(A) = + + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z Ã ! Ã ! Ã ! 1∂(ρA ) ∂A ∂A ∂A 1 ρ∂A ∂Az φ ρ z φ ρ rotA = − e + − e + − e .ρ φ z ρ ∂φ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ∂φ • En coordonn´ees sph´eriques (r,θ,φ) : ∂A 1∂A 1 ∂A gradA = e + e + er θ φ ∂r r ∂θ rsinθ ∂φ 21 ∂(r A ) 1 ∂(A sinθ) 1 ∂Ar θ φ div(A) = + + 2r ∂r rsinθ ∂θ rsinθ ∂φ • div(aV) =adiv(V)+V¢grad(a) • rot(aV) =grad(a)∧V+arot(V) Fonctions de Bose • Les fonctions de Bose sont not´ees g (z) (α> 1) . Elles sont d´eﬁnies sur l’intervalle [0,1],α sur lequel elles sont croissantes, par : ∞ kX z g (z) = .α αk k=1 Elles ont les propri´et´es suivantes : • g (z)∼z pour z≪ 1α d(g (z))α• z =g (z);(α> 1)α−1dz • g (1) = 1,64, g (1) = 1,20, g (1) = 1,082 3 4 Int´egrales utiles : Z Z∞ ∞−u 2 −uue du = 1, u e du = 2 0 0 rµ ¶ µ ¶Z Z∞ ∞d d π2 2 2u exp(−au )du =− exp(−au )du =− −∞ da −∞ da a D´eveloppements en s´eries enti`eres : ∞ ∞ kX X1 xk= x , ln(1−x) =− 1−x k k=0 k=1 Une relation utile : nX n(n+1) k = 2 k=1 2Premi`ere partie Ralentissement, refroidissement et pi´egeage d’atomes neutres 1 Forces radiatives On consid`ere un atome de masse M, immobile en R = 0, origine d’un rep`ere Oxyz mat´e- rialisant un r´ef´erentiel suppos´e galil´een. Cet atome interagit avec un champ laser associ´e `a un champ ´electrique E, de pulsation ω et polaris´e rectilignement suivant le vecteur e :x E(r,t) =E(r,t)e .x L’atome est suppos´e ´equivalent `a un dipˆole ´electrique induit, oscillant `a la pulsation ω du champ, et de moment dipolaire : p =qr, parall`ele `a e , la charge q en r oscillant autour de la charge −q plac´ee en R. Dans toute lax suite, on supposera que||r||≪λ = 2πc/ω, et on notera : p(r,t) =p(r,t)e .x La moyenne temporelle d’une grandeur p´eriodique A de p´eriode T est d´eﬁnie par :Z T1 = A(r,t)dt. T 0 1.1 Expression de la force moyenne s’appliquant sur l’atome 1. Force ´electrique : (a) Donner l’expression des forces ´electriques F et F exerc´ees par E sur les chargesq −q q et−q en fonction de q, E(r,t) et E(0,t). (b) En eﬀectuant un d´eveloppement limit´e au voisinage de R =0, montrer que la force ´electrique qui s’applique sur l’atome est donn´ee par : F (R,t) = (p¢grad) E(r,t).el r=R 2. Force magn´etique : (a) Montrer qu’`a l’ordre le plus bas en ||r||/λ, la force magn´etique qui s’exerce sur l’atome s’´ecrit : dp F (R,t) = ∧B(R,t).m dt (b) En d´eduire l’expression suivante : d F (R,t) = (p∧B(R,t))+(p∧rotE) ,m r=Rdt et montrer que la force magn´etique peut ´egalement s’´ecrire, en remarquant que le champ E est port´e par e :x d F (R,t) = (p∧B(R,t))−(p¢grad) E+(p gradE) .m r=R r=Rdt 3. En d´eduire l’expression de la force totale moyenne F =< F +F > qui s’exerce surel m l’atome : F =F(R) =h(p gradE) i. r=R 31.2 Force dipolaire, force de pression de radiation On suppose le champ ´electrique E en r de la forme : E =E (r)e cos[ωt+Φ(r)].0 x Il est associ´e au champ complexeE (c’est-`a-dire que E =Re(E)) : i[ωt+Φ(r)] E =E (r)e e .0 x De la mˆeme fac¸on, on associe au dipˆole p un dipˆole complexeP (c’est-`a-dire que p =Re(P)). ′ ′′On d´eﬁnit la polarisabilit´e complexe de l’atome α =α −iα par la relation : P =ǫ αE.0 1. D´ecomposition de la force moyenne : montrer que la force moyenne F qui s’exerce sur l’atome se d´ecompose en deux forces : ′′ ′ǫ α ǫ α0 02 F =F +F , avec F =− E gradΦ et F = E gradE .1 2 1 2 0 00 2 2 2. Expression de la polarisabilit´e : le mod`ele de l’´electron´elastiquement li´e permet d’estimer la polarisabilit´e α et donc de donner une expression compl`ete des forces radiatives. Dans ce mod`ele, l’´electron est li´e `a l’atome par une force de rappel de constante de raideur 2k =mω , ou` m est la masse de l’´electron. Il subit une force de frottement de type ﬂuide :0 dr−mΓ , (0< Γ≪ω ).0 dt Le coeﬃcient, Γ, appel´e largeur radiative, est homog`ene `a une fr´equence. L’´electron est de plus soumis au champ ´electrique E associ´e au champ laser, et on appelle d´esaccord δ la diﬀ´erence entre la pulsation du laser et la pulsation propre de l’oscillateur : δ =ω−ω .0 Danstoutelasuite,onseplaceauvoisinagedelar´esonance,c’est-`a-diredansunesituation pour laquelle|δ|≪ω .0 (a) Donner l’´equation diﬀ´erentielle du second ordre v´eriﬁ´ee par le dipˆole atomique P soumis au champE. (b) En d´eduire que, dans ce mod`ele et sous l’hypoth`ese |δ| ≪ ω , la polarisabilit´e est0 donn´ee par : 2α ω δ α ω Γ/2 q0 0 0 0 ′ ′′α =− −i =α −iα avec α = .02 2 2 2 22 δ +Γ /4 2 δ +Γ /4 mǫ ω0 0 (c) Donner la valeur num´erique, la dimension et une interpr´etation physique de α .0 On donne λ = 780 nm pour la transition concern´ee, les valeurs num´eriques des0 constantes fondamentales sont donn´ees en pr´eambule `a l’´enonc´e. (d) Pourquoi ce mod`ele est-il adapt´e `a l’´etude des atomes alcalins (sodium, potassium, rubidium, c´esium,...) qui sont souvent utilis´es dans les exp´eriences de refroidisse- ment laser? Par ailleurs, pourquoi ces atomes ont-ils ´et´e choisis pour mener ces exp´eriences? 3. Atome immobile dans une onde plane : on suppose que l’atome est plong´e dans une onde ´electromagn´etique plane de vecteur d’onde k, c’est-`a-dire que le champ E est donn´e par E =E e cos(ωt−k¢r).0 x 4(a) Montrer que la forceF se r´esume `a la forceF , et donner son expression en fonction1 ′′de α , ǫ , k et E .0 0 (b) Interpr´etation corpusculaire de la force : i. EtablirlesexpressionssuivantespourlapuissancemoyenneP rec¸ueparledipˆole `a l’ordre le plus bas en||r||/λ :* + 2dp ǫ ωE0′′ 0P = ¢E(R,t) =α . dt 2 ii. En supposant que cette puissance moyenne correspond `a un nombre N de pho-p tons laser absorb´es par unit´e de temps, donner l’expression de N .p iii. En d´eduire l’expression deF en fonction de N et h¯k.p iv. Pour interpr´eter l’expression pr´ec´edente, on consid`ere que chaque photon du champ laser absorb´e par l’atome est r´e-´emis de mani`ere spontan´ee. Cette ´emis- sion spontan´ee est ´equiprobable dans deux directions oppos´ees. A partir de ces indications et `a l’aide d’un bilan de quantit´e de mouvement entre atome et photons, montrer que l’on retrouve l’expression pr´ec´edente deF pour la force exerc´ee par une onde plane sur l’atome. (c) Expression de la force en fonction des donn´ees exp´erimentales : i. Donner l’expression de l’intensit´e I du laser mod´elis´e par une onde plane en fonction de E , ǫ et c, c´el´erit´e de la lumi`ere dans le vide.0 0 ii. Montrer que la forceF qui s’exerce sur un atome s’´ecrit : 2 2Γ I Γ /4 Γ h¯c F =h¯k avec I = . (1)sat2 22I δ +Γ /4 2α ωsat 0 0 La grandeur I , homog`ene `a une intensit´e, est appel´ee intensit´e `a saturationsat de la transition atomique consid´er´ee. iii. Donner une interpr´etation physique au temps τ d´eﬁni par : ||F|| 1 = . h¯k τ iv. Proposer une interpr´etation physique au coeﬃcient Γ, en se plac¸ant par exemple `a r´esonance (δ = 0) et `a I = I (transition atomique satur´ee). On pourrasat consid´erer que l’atome, lorsqu’il absorbe un photon, passe d’un ´etat interne fondamental f `a un ´etat excit´e e, et relier Γ `a une caract´eristique physique de l’´etat e. v. Comparer ||F|| `a l’action de la pesanteur sur un atome de rubidium, en se plac¸ant `a nouveau `a r´esonance (δ = 0) et `a I =I . On donne pour le rubidiumsat −25M = 1,42 10 kg, Γ/2π = 6 MHz, λ = 780 nm. (d) Pourquoi nomme-t-on cette force “pression de radiation”? Connaissez-vous