4°sc-devoir de synthèse 2.

alphamaths - Med.Ahmed Sadfi

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ﬁ"˛pp£¥£¥£p˛˛ﬁ Lycée Ibn Rachiq Devoir de synthèse N 2 Sadfi ed Kairouan Durée 3H M Ahmed Section 4 Sc3

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Publié par	alphamaths
Publié le	13 février 2012
Nombre de lectures	285
Langue	Français

Extrait

Lycée Ibn Rachiq Devoir de synthèse N 2 Sadfi Kairouan Durée 3H Med Ahmed Section 4 Sc3Le : 04 / 03 / 200

EXERCICE : 1 ( 5 points )  L espace est rapportée à un repère orthonormée (O , i , j , k ) '

1) On considère te plan P : 2 x + 2 y + z 17 = 0 et la droite D définie par : t z t - = 3 t+ + 1 - = x 2 +2 = y t 2

a montrer que D est perpendiculaire à P

b déterminer les coordonnéesdu point d'intersection H de D et P

2) Soit Sml'ensemble des points M( x , y , z ) vérifiant ; x2+ y2+ z2x 4 (m + 1) y - 2 (2 m -1) ( m - 3) z + 8m 22+ 6 m - 2 = 0.

a montrer que pour tout m\{4} , Smest une sphère dont on précisera le centre Imet le ra b déterminer l'ensemble des points lmlorsque m décrit\{4}. 3) a étudier suivant les valeursde m la position relative de P et Sm b montrer que S2 P est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. EXERCICE : 2 ( 5 points ) e e On poseI01∫xdxetIn1∫x(lnx)ndxpour tout n entier non nul. 1 1 1) Calculer I0et I1. 2) Montrer que pour tout n entier 2In#1#(n#1)In1e2. Calculer I2.

3) a) Montrer que pour tout n entier,In#1In. b) En déduire que la suite (n) est convergente σnσ. 4) a) montrer que pour tout n entiere2I e22 n#3n# b) Calculer limInet limnIn n|#υn|#υ

EXERCICE :3 ( 3 points )

Soit F la fonction définie sur [ 0 ; 2 ] par F ( x ) = ∫t 1 - 0 nis x2 dt

1). Montrer que F est dérivable sur [ 0 ; 2 ] et calculer F’(x) 2). En déduire que xÎ x ) ( 2iS n 1 ) = ( x F ] 2 ; 0 [ 4 1 2 3). Calculer∫02 - t 12 et dt∫02 1 - t2 dt BN Cos2(x) = s 2x1Co 2

1 x 2



yon Rm.

EXERCICE :4 ( 7 points )

On considère la fonction g définie sur ] 0 ;υ[ par g(x!= - 2 x2 - 1 + ln x 1) a) Dresser le tableau de variations de g sur ] 0 ;υ[. b) En déduire que pour tout x de ]0 ;υ[ , g(x) < 0. Soit f la fonction définie sur ] 0 ;υ[ par f(x!1nl = -x. 1 - x2 x+ On désigne parf O, i , j )sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal ( d’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. 2) a) Calculer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat. b) Démontrer que la droite d’équation y = x + 1 est une asymptote à la courbef Étudier la position relative defet sur ] 0 ;υ[. υ 3) a)Vérifier que pour tout x de ] 0 ; [ f '(x! 22 x. xg= b) Dresser le tableau de variations de f c) Calculer f (1). En déduire le signe de f 4) a) écrire une équation cartésienne de la tangente T a C au point d’abscisse e

b) tracer les droites ; T et la courbef 5) a) Hachurer sur le graphique la partiedu plan limitée par la courbef; l’axe des abscisses roites d ations x 1 et x = e. = et ’équles d b) calculer l’aire de