Topologie et Calcul Di érentiel F Rouvière

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Topologie et Calcul Di?érentiel (F. Rouvière) 9.1.06 EXAMEN (1ère session) Durée 3 heures. Sans documents. Les trois exercices sont indépendants. Une rédaction claire et précise sera appréciée. Barême indicatif : 1 = 5 points (3+2), 2 = 7 points (1+3+3), 3 = 8 points (1+2+2+1+2). 1. Fermés emboîtés. Soit X un espace métrique muni de la distance d. On note (A) = sup x;y2A d(x; y) le diamètre d?une partie A de X. Soit (Fn)n1 une suite de parties fermées (non vides) de X, telles que F1 F2 Fn Fn+1 et lim n!1 (Fn) = 0 . a. On suppose X complet. Montrer alors que l?intersection F = T n1 Fn contient un point et un seul. [Indication : prendre un point xn dans Fn et montrer qu?on obtient ainsi une suite de Cauchy.] b. On prend X =]0;1[ muni de la distance usuelle d(x; y) = jx yj et Fn = 1 n ; 1 n+ 1 ; 1 n+ 2 ; ::: . Déterminer (Fn) et T n1 Fn.

norme d?application linéaire

théorème des extremums

classe c2

d?après l?inégalité des accroissements ?nis

solution unique

accroissements ?nis

d?après

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Topologie et Calcul Di¤érentiel(F. Rouvière)

EXAMEN (1ère session)

9.1.06

Durée 3 heures. Sans documents. Les trois exercices sont indépendants. Une rédaction claire et précise sera appréciée. Barême indicatif:1= 5 points (3+2),2= 7 points (1+3+3),3= 8 points (1+2+2+1+2). 1. Fermés emboîtés.SoitXun espace métrique muni de la distanced. On note (Asup) =d(x; y) x;y2A lediamètredune partieAdeX. Soit(Fn)n1une suite de parties fermées (non vides) deX, telles que F1F2  FnFn+1  etlim(Fn) = 0. n!1 T a.On supposeXcomplet. Montrer alors que lintersectionF=Fncontient un point et un seul. n1 [Indication : prendre un pointxndansFnet montrer quon obtient ainsi une suite de Cauchy.] b.On prendX=]0;1[muni de la distance usuelled(x; y) =jxyjet   1 11 Fn=:::; ; ;. n n+ 1n+ 2 T Déterminer(Fn)etFn?. Quen déduit-on n1 2. Fonction implicite et extremum.SoitCla courbe déquation 6 62 2 x+y+ 3x y= 1. a.Montrer queCest contenue dans le carré[1;1][1;1]. b.Montrer quon peut résoudre léquation deCsous la formey='(x)au voisinage dex= 0,y= 1, où 20 00 'est une fonction de classeC. Calculer les dérivées'(0)et'(0). Montrer quon peut résoudre léquation sous la formex=(y)au voisinage dex= 1,y= 0. 2 2 c.Soitf(x; y) =xy. Montrer que la restriction defàCatteint son maximum et son minimum. En utilisant le théorème des extremums liés, calculer la valeur de ce maximum et de ce minimum. 3. Point xe.SoientElespace des matrices réellesnn, muni dune normek:ktelle que kXYk  kXk kYkpour tousX; Y2E, et soitIla matrice unité. On noteB(A; r)la boule ouverte etB(A; r)la boule fermée de centreAet de rayonrdansE. 2 PourN2Edonné, on cherche à résoudre léquationM=N, oùM2Eest linconnue. On note 1 2 M=I+X,N=I+Aetf(X() =AX). 2 Dans la suiteAest xé, aveckAk<1. 2 a.Montrer queM=Néquivaut àf(X) =X. b.Montrer quon peut choisir un rayonr, fonction deA, tel que0< r <1etf(B(0; r))B(0; r). c.Montrer quefest une application di¤érentiable en tout point deEet calculerDf(X)HpourX; H2E. d.Siuest une application linéaire deEdansEon notekuksa norme dapplication linéaire (associée à ` la normek:ksurE). Montrer que, pour toutX2E, kDf(X)kk Xk. ` En déduire quefest contractante surB(0; r). e.Déduire des questions précédentes un résultat dexistence et dunicité dune solution pour léquation 2 M=NavecN2B(I;1).

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