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classe de première, Secondaire - Lycée, 1ère
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- cours - matière potentielle : page
-
- signe contraire
- maximum local
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le T ES - programme 2002 - mathématiques–ch.2 - cours (D’après Nathan –collection Transmath édition 2006) Ch.2 : Dérivation
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Certaines notions figurant dans ce chapitre sont au programme de la classe de première. Compte tenu de leur importance, nous les rappelons ici.
1
NOMBRE DERIVE.FONCTION DERIVEE
fest une fonction définie sur un intervalleI.
1.1Fonction dérivable et nombre dérivé
aeta+hsont deux réels deI(avech0). DEFINITION1 f(a+h)–f(a) Dire quefestdérivable enasignifie que : la fonctionhadmet une limite finie en0. h f(a+h)–f(a) On note alorsf'(a)= lim. h0h f'(a)est appelé lenombre dérivé defena. f(a+h)–f(a) est letaux de variation, ou l’accroissement moyendefentreaeta+h. h
Remarque :Nombre dérivé et forme indéterminéeConsidérons une fonctionfcontinue surI. f(a+h)–f(a) 0 En0, la fonctionF :hprésente une forme indéterminée « ». h0 Dire quefest dérivable enasignifie que cette fonctionFadmet une limite finie lorsquehtend vers0.
1.2Fonction dérivée DEFINITION2 Lorsque est dérivable en tout pointxdeI, la fonctionx'xest appelée lafonction dérivéede et est notéef'.
1.3Règles de calcul
On note :kIRune constante ;nIN*–{1}. REGLES DE CALCULf(x)f'(x)fdérivable sur…k(constante)0 IR x+k1 IR 1–1 * IR = IR–{0 2} x x n n–1 * x nx IRpourn2;IRpourn–1 1 +* xR = ]0 ; +[ 2x 1 Siuetvsont deux fonctions dérivables surI, alors il en est de même pouru+v,ku(kconstante),uv, (siv0v u surI(si) et v0surI). De plus : v
REGLES DE CALCUL
(u+v)'=u'+v';
(ku)'=ku';
(uv)'=u'v+v'u;
THEOREME1 1)Toute fonction polynôme est dérivable surIR. 2)Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.
H. Rorthais (Lycée-Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
' 1–v' =; 2 vv
' u u'v–v'u =. 2 vv
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le T ES - programme 2002 - mathématiques–ch.2 - cours Page 2 sur 9 (D’après Nathan –collection Transmath édition 2006) Démonstration : 1)Considérons une fonction polynôme de degrén: n n–1 f(x) =a x+a x+…+a x+ a (aveca0) ; n n–01 1 n k k chaque fonctionxa x, produit de la fonctionxxpar la constanteaest dérivable surIR. k k Doncf, somme de fonctions dérivables surR, est dérivable surIR. f(x) 2)Une fonction rationnelle, , quotient de deux fonctions polynômes, est dérivable surIsig(x)0sur g(x) I, d'où le résultat.
Exemples : 5 2 4 4 1)Sif(x) = 3x–2x+ 1alors :f'(x) = 35x–22x= 15x–4x. 3 2)Sif(x) =on peut calculerf'(x)de deux façons :5 x –5n -en écrivantf(x) = 3xet en utilisant la dérivée de la fonctionxx(nentier,n–1), on –15 –5–1–6 obtient :f'(x) = 3(–5)x=–15x=.6 x ' 1–v'1 -en utilisant la formule=et en posantf(x) = 3, on obtient : 2 5 vv x 4 4 –5x–5x–15 f'(x) = 33 = =.5 2 10 6 (x)x x 2' 3x+u' vx u –v'u 2 4 3)Sif(x) =, en posantu(x) = 3x+xetv(x) =x+ 1, et en utilisant la formule=, on 4 2 x+ 1vv 3 obtient :u'(x) = 6x+ 1etv'(x) = 4x. 4 3 2 5 4 (6x+ 1)(x+ 1)–(4x)(3x+x)–6x–3x+ 6x+ 1 Par conséquentf‘(x=) = .4 2 4 2 (x+ 1) (x+ 1)
Exercice résolu 1 page 55 :Trouver une fonction dérivée2 13x–5x+ 1 ÉNONCÉ :fest la fonction définie surIR– par :f(x) =. 22x–1 Quelle est sa fonction dérivée ? SOLUTION : 1 fest une fonction rationnelle, doncfest dérivable sur son ensemble de définition,IR– ;fest de la forme 2 u 2 avec :u(x) = 3x–5x+ 1etv(x) = 2x–1. v ' u u'v–v'u Appliquons la formule :=. Iciu'(x) = 6x–5etv'(x) = 2. 2 vv 2 2 1 (6x–5)(2x–1)–2(3x–5x6+ 1) x–6x+ 3 D'où, pour toutx:f'(x) = =.2 2 2 (2x–1) (2x–1)
EXERCICES D'APPLICATION 1 3 1)Calculez la dérivée de chacune des fonctions suivantes : 6 7 3 a)b)(pour).f:x 4x–3x+x–10;f:x11x 0 x 3 2)4x–x+ 1 a)Précisez l'ensemble de définition de la fonctionf:x. 2 x–4 b)Calculez la dérivée de cette fonction.
Exercices n°R1-R2 page 64 + Q.C.M. n°1 à 7 page 64 + n°A1 à A3 page 65 + n°1 à 5 page 66
H. Rorthais (Lycée-Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
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le T ES - programme 2002 - mathématiques–ch.2 - cours (D’après Nathan –collection Transmath édition 2006) 2ÉQUATION D'UNE TANGENTE A UNE COURBEDEFINITION3 est une fonction dérivable sur un intervalleIetaest un réel deI. est la courbe représentantfdans un repère. f Latangentepointà au A(a;f(a))est la droiteTqui passe parAet de f coefficient directeurf'(a).
3
THEOREME2 :
La tangente à
au pointA(a;f(a))a pour équation :y=f'(a)(x–a) +f(a). f
Démonstration : La tangenteTadmet une équation de la formey=mx+p. Son coefficient directeur est égal àf'(a); doncm=f'(a). La droiteTpasse parA(a;f(a)); doncf(a) =ma+p, d'oùp=f(a)–ma=f(a)–f'(a)aety=f'(a)x+f(a)–f'(a)a. Finalementy=f'(a)(x–a) +f(a).
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Exemple : 2 Considérons la courbe représentant la fonctionf:xx. On af'(x) = 2xet doncf'(3) = 6etf(3) = 9. f La tangente à au point d'abscisse3admet comme équationy=f'(3)(x–3) +f(3), soity= 6(x–3) + 9, f ou encorey= 6x–9.
EXERCICES D'APPLICATION 2 3 3 1)Donnez une équation de la tangente à la courbe représentant la fonctionxx+x+ 1au point d'abscisse 0. 2x 2)Donnez une équation de la tangente à la courbe représentant la fonctionxau point d'abscisse–1. x+ 2
Exercices n°A4-A5 page 65 + n°6 à 14 page 66
DERIVATION ET ETUDE D'UNE FONCTION
3.1Sens de variation et signe de la dérivée THEOREME3 fest une fonction dérivable sur un intervalleI. Sif'0(resp.f'0) surI, alorsfest croissante (resp. décroissante) surI. Sif'= 0surI, alorsfest constante surI. De plus, siI = [a;b]et sif'> 0(resp.f'< 0) sur l'intervalle ouvert]a;b[, alorsfest strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur[a;b].
T.D. n°3 pages 60-61 + Exercices n° 51 à 57 page 72 + n°58-59 page 73
3.2Extrémum local et valeurs qui annulent la dérivée
cest un réel de l'ensemble de définition def.
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le T ES - programme 2002 - mathématiques–ch.2 - cours (D’après Nathan –collection Transmath édition 2006) DEFINITIONS4 Dire quef(c)est unmaximum local(resp. unminimum local) signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvertIcontenantctel que : pour toutxdeI,f(x)f(c)(resp.f(x)f(c)). On appelleextremum local, un maximum local (f(c)sur la figure) ou un minimum local (f(d)sur la figure).
Nous rappelons le théorème suivant : THEOREME4 fest une fonction dérivable sur un intervalleIouvert etcest un réel deI. Sifadmet un extremum local enc, alorsf'(c) = 0.
Remarques :
1)au pointLa tangente à la courbe A(c;f(c))est horizontale. f 2)La réciproque de ce théorème est fausse : il peut arriver quef'(c) = 0sans quef(c)soit un extremum local def. 3 2 Par exemple, sif(x) =x, alorsf'(x) = 3xetf'(0) = 0; et pourtant f(0) = 0n'est pas un extremum local def.
Exemple : 1 2 fest la fonction définie surIRparf(x) =x+ 3x–1. 2 fest un polynôme, doncfest dérivable surIR, et pour tout réelx,'x=x+ 3.Le signe def'(x)est donné dans le tableau ci-contre. Il en résulte que : fest strictement croissante sur[–3 ; +[; fest strictement décroissante sur]–;–3]. 1 9–11 2 f(–3) = (–3) + 3(–3)–1 =–9–1 =. 2 2 2 –11 est un minimum local def. 2 –11 Remarque : Dans ce cas, tous les nombresf (x).sont supérieurs à 2 –11 On dit que est le minimum absolu de la fonctionf.2 Exercice résolu 2 page 55-56 :Étudier les variations d'une fonction 1 3 2 ÉNONCÉ :fest la fonction définie surIRpar :f(x) =x+x–1. 3 1)Étudiez les variations def. 2)Précisez, s'il y a lieu, les extremums defMETHODE :Pour étudier les variations def: on calcule la dérivée def; on étudie le signe def'(x); on dresse le tableau de variation def. SOLUTION : 1)Variations defLe polynômefest dérivable surIR. 2 Pour tout réelx,f'(x) =x+ 2x=x(x+ 2). Étudions le signe def'(x): 2 le trinômex+ 2xs'annule en0et en–2. 2 De plus, le coefficient dexest strictement positif (a= 1). H. Rorthais (Lycée-Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
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le T ES - programme 2002 - mathématiques–ch.2 - cours Page 5 sur 9 (D’après Nathan –collection Transmath édition 2006) On sait alors, d'après la règle donnant le signe d'un trinôme du second degré, que : f'(x) < 0(du signe contraire dea) pour les valeurs dexcomprises entre les racines, c'est-à-dire–2 <x< 0; et quef'(x) > 0sur chacun des intervalles]–;–2[et]0 ; +[; d'où le signe def'(x)et le tableau de variations def:
2)ExtrémumsLe sens des flèches montre que la fonctionfa : 1 un maximum local en–2; ce maximum estf(–2) =; 3 un minimum local en0; ce minimum estf(0) =–1.
EXERCICES D'APPLICATION 3 3 1 3 Étudiez les variations surIRde la fonctionf:xx–x, et précisez les extrémums locaux. 3
Exercices n°R3-R4 page 64 + T.D. n°1 page 59 + n°4 pages 61-62 + Exercices n°A6 à A10 page 65 + n°36-37 page 68 + n°42-43 page 69 + n°44 à 46 page 70 + n°60 page 73 + n°61 à 64 page 74 + R.O.C. n°6 page 78
DERIVATION ET THEOREME DE LA VALEUR INTERMEDIAIRE
4.1Dérivation et continuité
Considérons une fonctionfsa courbe représentative. On conçoit graphiquement, que si la courbe, et notons f admet une tangente en chacun de ses points, cette courbe peut être tracée de manière continue. Nous admettrons le théorème suivant : THEOREME5 Toute fonction dérivable surIest continue surI.
Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse, car une fonction peut être continue en un point mais non dérivable (par exemple :xxen0).
4.2Cas oùf'> 0(ouf'< 0) sur]a;b[
f
On a vu (théorème 3) que sif'> 0sur]a;b[, alorsfest strictement croissante sur[a;b]. D'où, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,fprend une fois et une seule toute valeur de l'intervalle[f(a) ;f(b)]. On a un résultat analogue sif'< 0sur]a;b[. THEOREME6 Sif'> 0sur]a;b[, ou sif'< 0sur]a;b[, alorsfprend une fois et une seule toute valeur comprise entref(a)et f(b). Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), l'équationf(x) =kadmet une solution unique sur[a;b].
4.2.1
Cas particulier oùf(a)etf(b)sont de signes contraires
Dans ce cas, le nombre0est compris entref(a)etf(b). Ainsi, sous les hypothèses du théorème précédent,fprend une fois et une seule la valeur0; ceci signifie que l'équation «f(x) = 0» admet une solution unique sur [a;b[.
4.2.2
Cas d'un intervalle non borné
Le théorème précédent s'étend aux cas suivants : Ainsi, par exemple :
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•a=–;
•b= +;
•a=–etb= +.
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le T ES - programme 2002 - mathématiques–ch.2 - cours Page 6 sur 9 (D’après Nathan –collection Transmath édition 2006) sif'> 0sur[1 ; +[et sif(1) = 5etlimf(x) =l, alorsfprend une fois et une seule toute valeur de x+ l'intervalle[5 ;l[.
Exemple : 2 Sif(x) =x+x,f'(x) = 2x+ 1. –1–1 Doncf'(x) > 0sur+] ; [etf'(x) < 0sur]–; [. 2 2 Sur l'intervalleI = [0 ; 5], on af'> 0; doncfprend une fois et une seule toute valeur comprise entref(0)et f(5), c'est-à-dire toute valeur entre0et30.
EXERCICES D'APPLICATION 4 3 5 5 Calculez la dérivée de la fonctionxx+ 1et déduisez-en que l'équationx+ 1 = 0admet une solution unique sur l'intervalle]–2 ; 0[.
Exercice n°R5 page 64 + T.D. n°2 page 60 + Q.C.M. n°3 page 64 + Exercices n°A11 à A13 page 65 + n°15-16 page 66 + n°17 à 23 page 67 + n°38 à 41 page 69 + Q.C.M. n°1-2 page 77 + Vrai-Faux n°3-5 page 78 + R.O.C. n°7 page 78
DERIVATION D'UNE FONCTION COMPOSEE
5.1Une nouvelle formule
Le théorème suivant permet de calculer la dérivée d'une fonctionxg[u(x)]lorsqu'on sait calculer les dérivées deget deu. THEOREME7 gest une fonction dérivable sur un intervalleJ. uest une fonction dérivable sur un intervalleItel que, pour toutxdeI,u xappartient àJ. Alors la fonctionf=guest dérivable surI, et pour toutxdeI:f'(x) =u'(x)g'[u(x)].
n n 5.2Dérivation deuavec entier THEOREME8 n uest une fonction dérivable sur un intervalleI, etnest un entier. Alors la fonctionf=uest dérivable : en tout point deIlorsquen2, en tout point deIoùune s’annule pas lorsquen–1.n–l De plus :f'(x) =n u'(x) [u(x)]. n n–1 (u)'=nu'u Autrement dit : .
Démonstration : n Pour toutxdeI,f(x) = [u(x)].n On peut donc écriref(x) =g[u(x)]avecg(y) =y. er n–1 1 cas,n2: alors la fonctiongest dérivable sur :g'(y) =ny. Le théorème 7 permet d'affirmer quefest dérivable surIet que pour toutxdeI:n–1 f'(x) = [u(x)]u'(x) =n[u(x)]u'(x). e +n–1 2 cas,n–1: alors la fonctiongest dérivable surIR:g'(y) =ny. Le théorème 7 permet d'affirmer quefest dérivable en tout point deIoù u ne s'annule pas, et que : n–1 f'(x) = [u(x)]u'(x) =n[u(x)]u'(x).
Exemple : –1 1 fest la fonction définie sur; +I = ] [par :f(x) =. 3 2 (2x+ 1) –1 –3–3 Pour toutx>,f(x) = (2x= [+ 1) u(x)]avecu(x) = 2x+ 1. 2 uest dérivable surIet ne s'annule pas surI; doncfest dérivable surI. –3–1 Pour toutxdeI,f'(x)=–3[u(x)]u'(x).
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