Expressions algébriques équations inéquations
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Expressions algébriques, équations, inéquations Table desmatières I Développements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 II Factorisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II.1 Règles utilisées pour factoriser une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II.2 Comment factoriser une expression algébrique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II.3 Exemples avec un facteur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II.4 Avec un facteur commun moins apparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II.
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Expressions algébriques, équations, inéquations Table desmatières I Développements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 II Factorisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II.1 Règles utilisées pour factoriser une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II.2 Comment factoriser une expression algébrique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II.3 Exemples avec un facteur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II.4 Avec un facteur commun moins apparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II.
- méthode
- méthode générale de résolution
- définition développer
- expression algébrique
- identité remarquable
- attention au signe
Expressions algébriques, équations, inéquations
Table des matières
I II
III
IV
Développements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factorisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Règles utilisées pour factoriser une expression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Comment factoriser une expression algébrique ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Exemples avec un facteur commun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Avec un facteur commun moins apparent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Avec des identités remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.6 Avec facteur commun et identités remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.7 Quand on ne voit ni facteur commun, ni identité remarquable. . . . . . . . . . . . . . . . Équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1 Définition d’une équation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Méthode générale de résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 III.3 Équations du typex=a. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.4 Équation sous forme d’un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inéquations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Signe de l’expressionax+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Signe d’un produit. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 Inéquations se ramenant à un produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.4 Inéquations sous forme de quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Expression algébriques
•Activité 1 page 42 •Exercice 2 page 44
I
Développements
1 2 2 2 2 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 9 9
Définition Développer une expression algébrique consiste à la transformer en retirant les « enveloppes », c’està dire les parenthèses.
Propriété fondamentale (distributivité) k(a+b)=k a+kb k(a−b)=k a−kb Exemple: 2(x+3)=2x+2×3=2x+6
1
On en déduit le développement suivant : (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
Démonstration :(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd=ac+ad+bc+bd
Quand on a des signes , on tient compte de la règle des signes :
22 Exemple :(2x−3)(3x−5)=2x×3x−2x×5−3×3x+3×5=6x−10x−9x+15=6x−19x+15
Identités remarquables Il y a trois développements particuliers que l’on retrouve sans arrêt, qu’on ap pelle identités remarquables : 2 2 •(a+b))2=a+2ab+b 2 2 •(a−b))2=a−2ab+b 2 2 •(a+b)(a−b)=(a−b)(a+b)=a−b Exemples :
½ a=2x 2 2 A=(2x+3)=(a+b) avec b=3 2 2 2 22 =a+2ab+b=(2x)+2×2x×3+3=4x+6x+9 ½ a=7x B=(7x+5)(7x−5)=(a+b)(a−b) avec b=5 2 2 2 22 =a−b=(7x)−5=49x−25 ½ a=7 2 2 C=( 7−3)=(a−b) avec b=3 2 2 2 2 =a−b=7−3=7+3=4 o Exercices : n 16, 17, 18 page 56
II
Factorisations
Définition Factoriser une expression algébrique consiste à la transformer pour qu’elle soit sous la forme d’un pro duit de facteurs. Remarque :Toutes les expressions algébriques ne sont pas factorisables dansR. 4 Exemple :x+1 ne peut pas se factoriser dansR.
II.1
Règles utilisées pour factoriser une expression
On utilise essentiellement ces cinq règles, dont les trois identités remarquables vues en Troisième.
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II.2
•ab+ac=a(b+c) •ab−ac=a(b−c) 2 2 2 •a+2ab+b=(a+b) 2 2 2 •a−2ab+b=(a−b) 2 2 •a−b=(a+b)(a−b)=(a−b)(a+b)
Comment factoriser une expression algébrique ?
Méthode – On recherche d’abord si l’expression a un facteur commun (évident ou pas) pour utiliser l’une des deux premières règles. – S’il n’y pas de facteur commun, on essaye de voir si l’on peut appliquer une identité remarquable. – Il peut y avoir les deux cas combinés. – Dans des cas rares, il faut d’abord développer, simplifier, puis factoriser le résultat.
Les exemples qui suivent ont pour but de vous montrer les différents cas possibles. La liste n’est évidem ment pas exhaustive ; on ne devient « bon » dans les factorisations qu’en s’entraînant beaucoup. (voir, par exemple le site Euler de l’académie de Versailles : cliquerici)
II.3
Exemples avec un facteur commun
1) 2xy+3xz=x(2y+3z) 2 2)x−3x=x×x−3x=x(x−3) 3)Factoriser(2x+3)(5x+7)+(2x+3)(−2x+9). On essaye de voir comment est constituée l’expression pour voir quelle règle l’on va utiliser.
(2x+3)(5x+7)+(2x+3)(−2x+9) { } { } { } { } a a c b a=2x+3 =ab+acen posant :b=5x+7 c= −2x+9 =a(b+c) =(2x+3) [(5x+7)+(−2x+9)] =(2x+3)(5x+7−2x+9) =(2x+3)(3x+16) donc : (2x+3)(5x+7)+(2x+3)(−2x+9)=(2x+3)(3x+16) 4)Factoriser(3x+5)(7x−4)−(5x−3)(3x+5). (3x+5)(7x−4)−(5x−3)(3x+5) { } { } { } { } a c a b a=3x+5 =ab−caen posant :b=7x−4 c=5x−3 Remarque :ab−c a=ab−ac=a(b−c). En remplaçanta,betcpar leurs expressions, on trouve : (3x+5) [(7x−4)−(5x−3)] =(3x+5)(7x−4−5x+3)(attention au signe devant la parenthèse) =(3x+5)(2x−1) donc : (3x+5)(7x−4)−(5x−3)(3x+5)=(3x+5)(2x−1)
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2 5)Factoriser(7x+1)−(7x+1)(3−2x). 2 On remarque que : (7x+1)−(7x+1)(3−2x)=(7x+1)(7x+1)−(7x+1)(3−2x) { } { } { } { } a a a b ½ a=7x+1 =aa−abavec b=3−2x =a(a−b) =(7x+1) [(7x+1)−(2−3x)] =(7x+1)(7x+1−2+3x) =(7x+1)(10x−1) 2 Par conséquent : (7x+1)−(7x+1)(3−2x)=(7x+1)(10x−1) . 2 6)Factoriser(x+3)−(x+3). Il est clair que (x+3)est un facteur commun. 2 (x+3)−(x+3) =(x+3)×(x+3)−(x+3)×1 { } { } { } a a a =a×a−a×1 aveca=(x+3) =a(a−1) =(x+3)[(x+3)−1] =(x+3)(x+2). 2 D’où : (x+3)−(x+3)=(x+3)(x+2) .
II.4
Avec un facteur commun moins apparent
7)Factoriser: (3x+5)(2x+7)−(6x+10)(x+13). Il n’y pas de facteur commun apparent, mais il est clair que 6x+10=2(3x+5). Par conséquent : (3x+5)(2x+7)−(6x+10)(x+13)=(3x+5)(2x+7)−2(3x+5)(x+13). (3x+5)(2x+7)−2(3x+5)(x+13) { } { } { } { } a a c b a=3x+5 =ab−2acavecb=2x+7 c=x+13 =a(b−2c) =(3x+5) [(2x+7)−2(x+13)] =(3x+5)(2x+7−2x−26) =(3x+5)(−19) = −19(3x+5).
Par conséquent : (3x+5)(2x+7)−(6x+10)(x+13)= −19(3x+5) 8)Factoriser(15x−3)(2x+7)−10x+2. On remarque que : 15x−3=5(3x−1) et−10x+2= −(10x−2)= −2(5x−1).
Par conséquent : ½ a=5x−1 (15x−3)(2x+7)−10x+2=3(5x−1)(2x+7)−2(5x−1)=3ab−2aavec { } { } { }b=2x+7 a a b =a(3b−2) =(5x−1)(3(2x+7)−2) =(5x−1)(6x+21−2) =(5x−1)(6x+19).
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D’où : (15x−3)(2x+7)−10x+2=(5x−1)(6x+19)
II.5
Avec des identités remarquables
2 9)Factoriser: 9x+42x+49. Il n’y aucun facteur commun donc on recherche si on peut faire apparaître une identité remarquable. ½ a=3x 2 2 2 2 2 9x+42x+49=(3x)+2×(3x)×7+7=a+2ab+bavec b=7 2 =(a+b) 2 =(3a+7) . 2 2 Par conséquent : 9x+42x+49=(3x+7) 2 10)Factoriser: 100x−121. 2 2 2 2 2 100x−121=(10x)−11=a−baveca=10xetb=11 =(a+b)(a−b) =(10x+11)(10x−11). 2 D’où : 100x−121=(10x+11)(10x−11) 2 2 11)Factoriser(2x+9)−(3x−13) . On voit que l’expression est la différence de deux carrés, ce qui fait penser à une identité remarquable.
2 2 (2x+9)−(3x−13) 2 2 =a−baveca=(2x+9) etb=(3x−13) =(a+b)(a−b) =[(2x+9)+(3x−13)] [(2x+9)−(3x−13)] =(2x+9+3x−13)(2x+9−3x+13) =(5x−4)(−x+22)
2 2 Par conséquent : (2x+9)−(3x−13)=(5x−4)(−x+22)
II.6
Avec facteur commun et identités remarquables
2 12)FactoriserA=(4x−4)−(5x−13)(x−1)+x−1 2 2 2 On remarque que : 4x−4=4(x−1) etx−1=x−x=(x+1)(x−1) (identité remarquable). Par conséquent : A=4(x−1)−(5x−13)(x−1)+(x+1)(x−1) { } { } { } { } { } a a c a b =4a−ba+caaveca=(x−1) ;b=(5x−13) et=(x+1) =a(4−b+c) =(x−1)[4−(5x−13)+(x+1)] =(x−1)(4−5x+13+x−1) =(x−1)(−4x+16) =(x−1)×4(−x+4) =4(x−1)(−x+4)
2 D’où :A=(4x−4)−(5x−13)(x−1)+x−1=4(x−1)(−x+4) . 2 13)FactoriserB=x−4x+4+(1−5x)(2−x)+(x−2) 2 2 2 2 On remarque que :x−4x+4=x−2×x×2+2=(x−remarquable) et que (22) (identité −x)=(−1)× (x−2)= −(x−2).
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2 Par conséquent :B=x−4x+4+(1−5x)(2−x)+(x−2) 2 =(x−2)+(1−5x)×(−1)×(2−x)+(x−2) =(x−2)(x−2)−(1−5x)(x−2)+(x−2)aveca=(x−2),b=(1−5x) { } { } { } { } { } a a a a b =aa−ba+a =a(a−b+1) =(x−2)[(x−2)−(1−5x)+1] =(x−2)(x−2−1+5x+1)± ± =(x−2)(6x−2) =(x−2)×2(3x−1) =2(x−2)(3x−1).
2 Par conséquent :B=x−4x+4+(1−5x)(2−x)+(x−2)=2(x−2)(3x−1)
II.7
Quand on ne voit ni facteur commun, ni identité remarquable
2 14)Factoriser3x−5x+18+(3x+2)(5x−9). On ne voit ni facteur commun , ni identité remarquable. En développant, on trouve ; 2 A=3x−5x+18+(3x+2)(5x−9) 2 2 =3x−5x+18+(15x−27x+10x−18) 2 2 3x−5x+18+15x−27x+10x−18 2 =18x−22x =9×2x×x−11×2x =2x(9x−11).
2 D’où : 3x−5x+18+(3x+2)(5x−9)=2x(9x−11)
Remarque : Vous verrez en Première une technique pour factoriser, lorsque cela est possible, toute expression du second 2 degré, c’estàdire une expression du typeax+bx+c,a,betcréels,a6=0.
III
III.1
Équations
Définition d’une équation
Définition Une équation est une égalité dans laquelle figurent un ou plusieurs nombres inconnus. Résoudre cette équation consiste à trouvertoutesles valeurs que peuvent prendre ce ou ces nombres inconnus pour que l’égalité soit vraie.
Exemples : 3 •2x+3=0 a pour solution le nombre− 2 2 2 2 •L’équationx+1=0 n’a pas de solution dansRcar, pour toutx∈R,xÊ0 doncx= −1 est impossible dans R.
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