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Baccalauréat STI Polynésie juin 2007

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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Polynésie juin 2007 \ Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) . L'unité graphique est 2 cm. On note i nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . 1. Pour tout nombre complexe z, on pose : P (z)= z3+ ( 2 p 2?4 ) z2+ ( 8?8 p 2 ) z+16 p 2. a. Calculer P ( ?2 p 2 ) . b. Déterminer une factorisation de P (z) sous la forme : P (z)= ( z+2 p 2 )( z2+?z+? ) où? et ? sont deux nombres réels que l'on déterminera. c. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : P (z)= 0. 2. On note A, B et C les points d'affixes respectives : a = 2+2i, b = 2?2i et c =?2 p 2. a. Placer les points A, B et C dans le repère ( O, ?? u , ?? v ) . Démontrer que A, B, C sont sur un même cercle ? de centre O, dont on donnera le rayon.

épaisseur demé- tal

points d'affixes respectives

??? ab

centimètres d'épaisseur

repère orthonormal direct

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Publié par	apmep
Publié le	01 juin 2007
Nombre de lectures	37

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI Polynésie juin 2007\ Génie mécanique, énergétique, civil

EX E R C IC E1 5points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. L’unité graphique est 2 cm. π On note i nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 1.Pour tout nombre complexez, on pose : ³ ´³ ´ 3 2 P(z)=z+2 2−4z+8−8 2z+16 2. ¡ ¢ a.CalculerP−2 2. b.Déterminer une factorisation deP(z) sous la forme : ¡ ¢¡ ¢ 2 P(z)=z+2 2z+αz+βoùαetβsont deux nombres réels que l’on déterminera. c.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :P(z)=0. 2.On note A, B et C les points d’afﬁxes respectives :a=2+2i,b=2−2i et c= −2 2. ³ ´ −→−→ a.Placer les points A, B et C dans le repèreO,u,v. Démontrer que A, B, C sont sur un même cercleΓde centre O, dont on donnera le rayon. b.Déterminer un argument du nombre complexeapuis un argument du nombre complexeb. ³ ´ −→−→ En déduire une mesure en radian de l’angleOB ,OA . ³ ´ −→−→ c.Déterminer alors une mesure en radian de l’angleCB ,CA . ³ ´ −→−→3π d.AC ,AB estDémontrer qu’une mesure de l’angle. 8 µ ¶ 3π e.En déduire l’égalité : tan=1+2. 8

EX E R C IC E2 4points Pour former une pièce métallique à partir d’un proﬁlé de 2 centimètres d’épaisseur, on utilise un marteau–pilon. Le marteau–pilon frappe toutes les 6 secondes, et à chaque coup, l’épaisseur de mé tal diminue de 2 %. On noteun(nentier naturel) l’épaisseur en millimètres de la pièce aprèsnfrappes de marteau–pilon. On a doncu0=20. 1.Calculeru1,u2etu3. On donnera les résultats arrondis au centième de milli metre. 2.Démontrer que la suite (un) est géométrique, et préciser sa raison. 3.Déterminerunen fonction de l’entiern. 4.Quelle est l’épaisseur, arrondie au centième de millimètre, de la pièce après 10 frappes ?

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A. P. M. E.P.

5.On considère que la pièce est terminée dès que son épaisseur est inférieure à 14 millimètres. Quel est le temps minimal pour que la pièce soit terminée ?

PR O B L È M E11 points ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté au repère orthonormalO,ı,. (L’unité graphique est 2 cm). Le but du problème est l’étude de la fonctionfdéﬁnie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par 2 2ln(x) f(x)=x−1+ − x x puis de calculer une aire. I. Étude d’une fonction auxiliaireg On notegla fonction déﬁnie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : 2 g(x)=x−4+2 ln(x). ′ 1.Calculer la fonction dérivéegde la fonctiong. 2.Déterminer le sens de variation de la fonctiong. (On ne demande pas les li mites en 0 et en+∞). 3.Résolution de l’équationg(x)=0. a.Démontrer que sur l’intervalle [1 ; 2] l’équationg(x)=0 possède une so lution uniqueα. −2 b.Donner un encadrement d’amplitude 10de ce nombreα. 4.Déduire de ce qui précède le signe deg(x) suivant les valeurs dex, dans l’in tervalle ]0 ;+∞[. II. Étude de la fonctionf ³ ´ −→−→ SoitCla courbe représentative defO,dans le repèreı,. 1.Déterminer la limite defen 0. Qu’en déduiton pour la courbeC? 2.Étude en+∞. a.Déterminer la limite defen+∞. b.Démontrer que la droiteDd’équationy=x−1 est asymptote à la courbe C. c.Déterminer les coordonnées du point A commun à la courbeCet à la droiteD. d.Étudier la position de la courbeCpar rapport à la droiteD. 3.Étude des variations def. ′ a.Déterminer la fonction dérivéefde la fonctionf. Vériﬁer que pour tout g(x) ′ réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[ :f(x)=, oùgest la fonc 2 x tion étudiée dans la partie I. b.En utilisant les résultats de la partie I, dresser le tableau des variations de la fonctionf. 2 4.On noteTla tangente à la courbeCau point d’abscisse e. Montrer queT est parallèle à l’asymptoteD. ³ ´ −→−→ 5.Dans le repèreO,ı,tracer la droiteD, la tangenteTet la courbeCà l’aide de l’étude précédente. (On prendraf(α)≈1, 25.)

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Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil

A. P. M. E.P.

III. Calcul d’une aire On déﬁnit sur l’intervalle ]0 ;+∞[ la fonctionHpar : 2 x 2 H(x)= −x+2 lnx−(lnx) . 2 1.Démontrer queHest une primitive de la fonctionfsur l’intervalle ]0 ;+∞[. 2.SoitEla région du plan limitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=1 etx=e. a.Hachurer la régionEsur votre ﬁgure. b.On noteSl’aire, exprimée en unité d’aire, de la régionS. Déterminer la valeur exacte deS. 2 c..Donner la valeur décimale approchée de cette aire, arrondie au mm

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