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Baccalauréat S Polynésie septembre 2007

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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Polynésie septembre 2007 \ EXERCICE 1 7 points Commun à tous les candidats On désigne par (E) l'ensemble des fonctions f continues sur l'intervalle [0 ; 1] et vérifiant les conditions (P1), (P2) et (P3) suivantes : • (P1) : f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ;1]. • (P2) : f (0)= 0 et f (1)= 1. • (P3) : pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1], f (x)6 x. Dans un repère orthonormal ( O, ?? ı , ??? ) du plan, on note (C f ) la courbe représenta- tive d'une fonction f de l'ensemble (E) et (D) la droite d'équation y = x. À toute fonction f de (E), on associe le nombre réel I f = ∫1 0 [x? f (x)]dx. 1. a. Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E). La déterminer en justifiant l'élimination des deux autres. Courbe n° 1 1 1 O Courbe n° 2 1 1 O Courbe no 3 1 1 O b.

??? mj

cube abcdefgh d'arête de longueur

???? oh?

coordonnées des vecteurs ??

ième année

affixe

points commun

Sujets

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Publié par	apmep
Publié le	01 septembre 2007
Nombre de lectures	37

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSPolynésieseptembre2007\
EXERCICE 1 7points
Communàtouslescandidats
On désigne par (E) l’ensemble des fonctions f continues sur l’intervalle [0; 1] et
vériﬁantlesconditions(P ),(P )et(P )suivantes:1 2 3
• (P ): f eststrictementcroissantesurl’intervalle[0;1].1
• (P ): f(0)=0et f(1)=1.2
• (P ):pourtoutréelx del’intervalle[0;1], f(x)6x.3 ³ ´→− →−
Dansunrepèreorthonormal O, ı ,  duplan,onnote(C )lacourbereprésenta-f
tived’unefonction f del’ensemble(E)et(D)ladroited’équation y=x.
Z1
Àtoutefonction f de(E),onassocielenombreréelI = [x−f (x)]dx.f
0
1. a. Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E).
Ladéterminerenjustiﬁantl’éliminationdesdeuxautres.
1 1 1
O O O1 1 1
oCourben°1 Courben°2 Courben 3
b. Montrerque,pourtoutefonction f de(E),I >0.f
x2. Soit h la fonction déﬁnie sur l’intervalle [0; 1] par h(x)=2 −1. (Onrappelle
x xln2que,pourtoutx réel,2 =e ).
a. Montrerquelafonctionh vériﬁelesconditions(P )et(P ).1 2
xb. Soitϕlafonctiondéﬁniesurl’intervalle[0;1]parϕ(x)=2 −x−1.
Montrerque,pour tout x de[0; 1], ϕ(x)60. (Onpourra étudier lesens
devariationdelafonctionϕsur[0 ;1]).
Endéduirequelafonctionh appartientàl’ensemble(E).
3 1
c. MontrerqueleréelI associéàlafonctionh estégalà − .h
2 ln2
23. SoitP unefonctiondéﬁniesurl’intervalle[0;1]parP(x)=ax +bx+c oùa, b
etc sonttrois nombresréels tels que 0<a<1. Onse proposededéterminer
lesvaleursdesréelsa, b etc pourquelafonctionP appartienneàl’ensemble
(E)etqueI =I .p h
a. MontrerquelafonctionP vériﬁelapropriété(P )sietseulementsi,pour2
2toutréelx del’intervalle[0;1], P(x)=ax +(1−a)x.
2MontrerquetoutefonctionP déﬁniesur[0;1]parP(x)=ax +(1−a)x
avec0<a<1appartientà(E).
b. Exprimerenfonctiondea leréelI associéàlafonctionP.P
c. Montrerqu’ilexisteunevaleurduréela pourlaquelle I =I .QuelleestP h
cettevaleur?
EXERCICE 2 4points
Communàtouslescandidats
OnconsidèreuncubeABCDEFGHd’arêtedelongueur3.A.P.M.E.P BaccalauréatS
H
G
E
F
D
C
A
B
³ ´→− →− →− →− 1−→ →− 1−→
On choisit le repère orthonormal D; ı ,  , k tel que ı = DA,  = DC et
3 3
→− 1−−→
k = DH.
3
1. a. DonnerlescoordonnéesdespointsA,CetE.
b. DéterminerlescoordonnéesdupointLbarycentredusystème{(C; 2), (E; 1)}.
−→ −→
c. DéterminerlescoordonnéesdesvecteursAE etDL.
2. Soit (a, b) un couple de réels. On note M le point de la droite (AE) tel que
−−→ −→ −−→ −−→
AM =aAE etN lepointdeladroite(DL)telqueDN =bDL.
−−→ −→ −→
a. Montrer que le vecteur MN est orthogonal auxvecteurs AE et DL siet
½
−a+2b = 1
seulementsilecouple(a, b)vériﬁelesystème
3a−b = 0
b. En déduire qu’il existe un seul point M de (AE) et un seul point N de0 0
(DL)telsqueladroite(M N )estorthogonaleauxdroites(AE)et(DL).0 0
c. DéterminerlescoordonnéesdespointsM etN puiscalculerladistance0 0
M N .0 0
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Lavégétationd’unpaysimaginaireestcomposéeinitialementdetroistypesdeplan-
tes:
40%sontdetypeA,41%detypeBet19%detypeC.
Onadmetqu’audébutdechaqueannée:
• chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule
nouvelleplantedetypeA,BouC.
• chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule
nouvelleplantedetypeA,BouC.
• chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule
nouvelleplantedetypeC.
Laprobabilitéqu’uneplantedetypeAsoitremplacéeparuneplantedemêmetype
est0,6etcellequ’ellelesoitparuneplantedetypeBest0,3.
Laprobabilitéqu’uneplantedetypeBsoitremplacéeparuneplantedemêmetype
est0,6etcellequ’ellelesoitparuneplantedetypeAest0,3.
Audébutdechaqueannée,onchoisitauhasarduneplantedanslavégétationeton
relèvesontype.
Pourtoutentiernatureln nonnul,onnote:
• A l’évènement «laplantechoisielan-ièmeannéeestdetypeA»,n
• B l’évènement «laplantechoisielan-ièmeannéeestdetypeB»,n
Polynésie 2 septembre2007A.P.M.E.P BaccalauréatS
• C l’évènement «laplantechoisielan-ièmeannéeestdetypeC».n
On désigne par p , q et r les probabilités respectives des évènements A , B etn n n n n
C .n
◦Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l’année n 0) on
pose:p =0,40, q =0,41etr =0,19.0 0 0
1. Recopier sur la copie et compléter
l’arbre pondéré ci-contre, en rempla-
çant chaque point d’interrogation par
la probabilité correspondante. Aucune
justiﬁcation n’est demandée pour cette
débutde débutde
question.
2. a. Montrer que p = 0,363 puis cal-1 ◦ ◦l’annéen 0 l’annéen 1
culerq etr .1 1
b. Montrer que, pour tout entier na-
Atureln nonnul, ?
½ ?
p = 0,6p +0,3qn+1 n n A B?
q = 0,3p +0,6qn+1 n n
?
C3. On déﬁnit les suites (S ) et (D ) surNn n
parS =q +p etD =q −p .n n n n n n
Aa. Montrer que S est une suite( ) ?n
?géométrique dont on précisera la ?
raison.Onadmetque(D )estune B Bn ?
?suitegéométriquederaison0,3.
b. Déterminer les limites des suites C
(S )et(D ).n n
?
c. En déduire les limites des suites C C¡ ¢ ¡ ¢
p , q et(r ).n n n
Interpréterlerésultat.
EXERCICE 4 5points
Communàtouslescandidats
Pour cet exercice, les ﬁgures correspondant aux parties A et B sont fournies sur la
feuillejointeenannexe.Cettefeuilleneserapasremiseaveclacopie.³ ´→− →−
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .
OnconsidèreuntriangleOABetune similitude directeσ decentreO,derapportλ
etd’angleθ.Soit:
′ ′• lespointsA etB ,imagesrespectivesdespointsAetBparlasimilitudeσ;
′ ′• lespointsI,milieudusegment[A B]etJ,milieudusegment[AB ];
′• lepointMmilieudusegment[AA ];
′• JepointH,projetéorthogonaldupointOsurladroite(AR)etlepointH image
dupointHparlasimilitudeσ.
PartieA.Étuded’unexemple
Danscettepartie,lepointAapourafﬁxe−6+4i,lepointBapourafﬁxe2+4i,etle
pointH,projetéorthogonaldupointOsurladroite(AB),adoncpourafﬁxe4i.
1 π
LasimilitudeσestlasimilitudedirectedecentreO,derapport etd’angle .
2 2
′ ′ ′1. DéterminerlesafﬁxesdespointsA ,B etH .
′2. Montrerqueladroite(IJ)estperpendiculaireàladroite(HH ).
Polynésie 3 septembre2007A.P.M.E.P BaccalauréatS
PartieB.Étudeducasgénéral
′ ′ ′1. a. MontrerqueH estleprojetéorthogonaldupointOsurladroite(A B ).
−−−→−−→ 1−−→ −−→ 1 ′ ′b. MontrerqueMI = AB.OnadmetqueMJ = A B .
2 2
′ ³ ´ ³ ´−−→MJ OH −→ −→ −−→ ′c. Endéduireque = etque MI, MJ = OH, OH +k×2π, k∈Z.
MI OH
2. Onappelle s lasimilitudedirectequitransformeMenOetIenH.
OnnoteKl’imagedupointJparlasimilitude s.
³ ´ ³ ´−−−→−−→ −−→ −−→′ ′a. MontrerqueOK=OH ,puisque MI, MJ = OK, OH +k×2π, k∈Z.
′b. EndéduirequelepointH estl’imagedupointJparlasimilitude s.
³ ´ ³ ´−−→→− −→ −−→′3. Montrerque IJ, HH = MI, OH +k×2π, k∈Z.
′Montrerqueladroite(IJ)estperpendiculaireàladroite(HH ).
Polynésie 4 septembre2007A.P.M.E.P BaccalauréatS
ANNEXE
Cettepageneserapasremiseaveclacopie
PartieA
A H B
→−
v
→−O
u
PartieB
′B
BJ
A
H
I
M
′A
O
′H
Polynésie 5 septembre2007
bbbbb

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