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Chapitre 6 : R´esultats annexes1 Convergence d’un amortissement interne vers unamortissement sur le bord : cas d’une non-lin´earit´ecritiqueDanslechapitre5decetteth`ese,nousnoussommesrestreintsaucasd’unenon-lin´earit´ef(x,u) sous-critique, c’est-`a-dire que dans le cas de la dimension troisd’espace, nous avonssuppos´e qu’il existe C > 0 et α∈ [0,1[ tels que′′ α ′′ 3+α|f (x,u)|≤C(1+|u| ) et|f (x,u)|≤C(1+|u| ) .uu uxLe but de ce paragraphe est d’´etudier le cas critique α = 1 et d’obtenir des r´esultatssemblables au cas sous-critique : comparaison des trajectoires, existence des attracteurset semi-continuit´es sup´erieure et inf´erieure des attracteurs. De plus, nous obtiendrons ler´esultat nouveau suivant : sous des hypoth`eses g´en´eriques, l’attracteurA est born´e dans∞1+s sH ×H pour un certain s> 0.Pour simplifier, nous nous plac¸ons dans le cadre suivant, mais les r´esultats sont g´en´eralisa-bles aux cas ou` une propri´et´e de prolongement unique est connue pour le probl`eme limite.3 1 2Soient Ω ⊂ R un domaine born´e r´egulier et X = H (Ω)×L (Ω). Soit γ > 0, on poseγ =γδ ou` δ est la fonction de Dirac `a support dans le bord de Ω, et pourn∈N,∞ x∈∂Ω x∈∂Ωon pose 1nγ si dist(x,∂Ω)