(these)

66Chapitre 3 : Contributions dans le cadre decette th`eseCe chapitre a pour but d’´enoncer les r´esultats principaux de cette th`ese, ainsi que plu-sieurs r´esultats interm´ediaires obtenus, qui ont leur int´erˆet propre en dehors du probl`eme´etudi´e.1 G´en´ericit´e de la propri´et´e de Morse-SmaleDans le cadre de la dimensiond = 1, nous avons g´en´eralis´e le th´eor`eme 4.4 du chapitre2 au cas de la dissipation non-constante, y compris pour une dissipation sur le bord. Cer´esultat est l’objet du chapitre 4 de cette th`ese.kSoitk≥ 2, on noteG l’espaceC (]0,1[×R,R) muni de la topologie de Whitney engendr´eepar les ouvertsi i{g∈G /|Df(x,u)−Dg(x,u)|≤δ(u), i = 0,...,k,(x,u)∈ Ω×R} .On consid`ere l’´equation des ondes amorties `a l’int´erieur d’un intervalleu (x,t)+γ(x)u (x,t) =u (x,t)+f(x,u) (x,t)∈]0,1[×R tt t xx +u(0,t) = 0 (ouu (0,t) = 0) t≥ 0xu(1,t) = 0 (ouu (1,t) = 0) t≥ 0 x 1 2 1 2(u(x,0),u (x,0)) = (u (x),u (x))∈H (]0,1[)×L (Ω) (ouH (]0,1[)×L (Ω))t 0 1 0(1.1)∞ou` γ ∈ L (]0,1[) est une fonction positive qui est strictement positive sur un ouvert de]0,1[, et l’´equation des ondes amorties sur le bord de l’intervalleu (x,t) = Δu(x,t)+f(x,u) (x,t)∈ Ω×R tt +∂u(x,t)+γ(x)u (x,t) = 0 (x,t)∈∂Ω×R (1.2)t +∂ν 1 2(u(x,0),u (x,0)) = (u (x),u (x))∈H (Ω)×L (Ω)t 0 1ou`γ(0) etγ(1) sont deux nombres positifs, dont au moins un est strictement positif et telsque γ(0) = 1 et γ(1) = 1.Th´eor`eme 1.1. L’ensemble des non-lin´earit´es f ∈ G, telles que tous les ...