Sur une partition en cellules associée à une fonction sur une variété

Surunepartitionencellulesassociéeàunefonctionsurunene0variété0Note deM.RenéThom,présentéeparM.ÉlieCartan.Soit f une fonction numérique, deux fois différentiable sur une variétécompacte à n dimensions V à structure deux fois différentiable. Supposonsnque f neprésentesur V qu’un nombre finidepointscritiques non dégénérés.n1Soit P un point critique de type p. Dans une carte locale autour de P , fs’écrit2 2 2 2 2f(x)= f(P)−x −x ...−x +x +...+x .p n1 2 p+1Associons à chaque point critique P une carte dans laquelle f(x)− f(P)i ise présentesouscetteforme réduite.On complète alors ce systèmede cartesen un recouvrement fini de V en y ajoutant un nombre fini d’ouverts U nen kcontenant aucun des points critiques. On peut alors, à l’aide d’une partition2différentiable de l’unité, définir sur V une forme ds partoutpositive et unen2foisdifférentiable,qui,auvoisinagedechaquepointcritique,seréduiseaudseuclidiendanslacarteassociée.Lavariété V estainsidotéed’unemétrique,netl’onpeutdéfinirentoutpoint xde V différentde P,levecteurn iX(x)= gradf 0.Le champ de vecteurs X définit un groupe G d’homéomorphismes à un pa-ramètre. Les points critiques P, pour lesquels X = 0, sont les points fixes desitransformationsde G.0Séance du14 mars1949.1M.Morse, FunctionalTopology and abstract variational Theory(Memorial,p.44, Lemma 10).1Soit Γ une trajectoire du groupe G.Lafonctionf est monotone sur Γ,etles valeurs limites prises par f lorsqu’on s’éloigne dans l’un ou l’autre senssurΓ ...