Sur la répartition des valeurs de la fonction d‘Euler

;xR)n=Ax=6(')x))xx()=n(=nX=n(n=)(x(Compositio Mathematica 110: 239–250, 1998. 239 c 1998 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.Sur la repartition´ des valeurs de la fonction d’Euler1 2´MICHEL BALAZARD et GERALD TENENBAUM1 ´ ´CNRS UMR 9936, Algorithmique arithmetique, Universite Bordeaux 1,´351, cours de la Liberation, 33405 Talence, France2 ´Institut Elie Cartan, Universite´ de Nancy 1, BP 239, 54506 Vandœuvre Cedex, FranceReceived: 7 August 1996; Accepted in final form: 29 January 1997Abstract. Let denote the number of those integers with'(n)6x ,where' denotes the Eulerfunction. Improving on a well-known estimate of Bateman (1972), we show that ,where 2 3 6 and is essentially of the size of the best available estimate for theremainder term in the prime number theorem.Mathematics Subject Classifications (1991). 11N25, 11N37, 11L07.Key words: Euler function, exponential sums, Vinogradov method, prime number theorem, shiftedprimes, Vaughan’s identity.1. IntroductionIl est bien connu que la fonction d’Euler'(n) , egal´ e au nombre des resi´ dusinversibles modulon est usuellement de taille comparable a` .Ona?f e+o( 1)g log!1);2`´oudesigne la constante d’Euler, et les valeurs den pour lesquelles'(n)´ `est petit sont rares. On peut exprimer rigoureusement ce phenomene, sous forme ` ´prbabiliste, en enonc ¸ant que la fonction'(n) possede une loi de repartitionlimite: c’est ...