Structures algébriques - Etude du groupe symétrique

6[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Enoncés 1Etude du groupe symétrique Exercice 7 [ 02230 ] [correction]Soit n> 5. 0 0 0a b c a b cMontrer que si et sont deux cycles d’ordre 3 deS ,nExercice 1 [ 02224 ] [correction]2 alors il existe une permutation σ, paire, telle que Soient n un entier supérieur à 2, (i,j)∈{1,2,...,n} tel que i =j et σ∈S .n −1 0 0 0σ◦ a b c ◦σ = a b c .Montrer que σ et τ = i j commutent si, et seulement si,{i,j} est stable parσ.Exercice 8 [ 02231 ] [correction]Soit n> 2 et c la permutation circulaire c = ( 1 2 ... n−1 n ).Exercice 2 [ 02225 ] [correction]Déterminer toutes les permutations σ deS qui commutent avec c.nDansS avec n> 2, on considère une permutation σ et un p-cycle :n c = a a ... a .1 2 p−1Observer que la permutation σ◦c◦σ est un p-cycle qu’on précisera.Exercice 3 [ 02226 ] [correction]Déterminer la signature de : 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8a) σ = b) σ = .3 5 4 8 7 6 2 1 1 3 2 7 4 8 5 6Exercice 4 [ 02227 ] [correction]?Soit n∈N . Déterminer la signature de la permutation suivante : 1 2 ··· n−1 na) σ = .n n−1 ··· 2 1 1 2 3 ... n n+1 n+2 ... 2n−1 2nb) σ = .1 3 5 ... 2n−1 2 4 ... 2n−2 2nExercice 5 [ 02228 ] [correction]Soit n> 2 et τ une transposition deS .na) Montrer que l’application σ7→τ◦σ est une bijection deS versS .n nb) En déduire le cardinal de l’ensembleA formé des permutations paires deS .n nExercice 6 [ 02229 ] [correction]Dans (S ,◦) on considère les permutationsn τ = 1 2 et ...