Premiere, cours sur la dérivation

PremièreDÉRIVATION : COURSI. Nombre dérivé en x01. DéfinitionSoit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x . On dit que f est dérivable en x si la quantité0 0 admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé en x et notée f '(x ). 0 0Remarque : Il ne faut pas écrire « » si l'existence de cette limite n'a pas encore étéjustifiée.2. Meilleure approximation affineThéorème 1 f est dérivable en x si et seulement si il existe un réel l tel que f(x + h) = f(x ) + l h + h (h) avec 0 0 0Alors l = f '(x ). 0Remarque : on parle d'approximation affine car on remplace la fonction h f(x + h) par la fonction affine h0 f(x ) + f '(x )h. 0 0L'erreur commise en effectuant ce remplacement est h (h). Cette erreur n'est petite que lorsque h est très petit.Exemples importants : (1 + h)² = 1 + 2h + h (h) 3(1 + h) = 1 + 3h + h (h) avec .3. Lien avec la notion de limitePropriété 1 Si f est dérivable en x , alors f admet une limite finie en x . 0 0Remarque : la réciproque est fausse !4. Nombre dérivé à droite. Nombre dérivé à gaucheDéfinition Si existe et est finie, on dit que f est dérivable à droite en x et on note f ' (x ) cette 0 d 0limite, appelée « nombre dérivé à droite » en x . 01 sur 4PremièreOn définit de façon similaire le nombre dérivé à gauche f ' (x ). Dans le cas où l'expression de f(x) n'est pas lag 0même avant et après x et si f admet une limite finie en x (qui est alors f(x )), alors : 0 0 ...