Notion d'homotopie

Jusqu’a` la section 3, le terme espace d´esigne un espace topologique quelconque, une fl`echef : X −→ Y entre espaces d´esigne une application continue, et on note Top la cat´egorie desespacesavecapplicationscontinues.Nousreviendrons`alasection3surlad´efinitiond’une«bonne»cat´egorie d’espaces topologiques.1. La notion d’homotopie1.1. R´etraction par d´eformation et homotopies. La topologie consid`ere comme ´equivalentsdeux espaces ayant la «mˆeme forme». La notion la plus intuitive correspondante est sans doutelaD´efinition 1.1.1 (r´etraction et r´etraction par d´eformation). Soit A⊂X un sous-espace de X.2– Une r´etraction de X sur A est une application r :X−→A satisfaisant r =r.– Une application continue r : X −→ A est une r´etraction par d´eformation de X sur A s’ilexiste une application continueF :X×I−→X(I d´esignant l’intervalle [0,1]) v´erifiantF(·,t) = Id ∀t∈I |A AF(·,0) = Id .XF(·,1) = r(·)D´efinissons plus g´en´eralement la notion d’homotopie entre deux applications continues :D´efinition 1.1.2 (homotopie). Une homotopie entre deux applications continuesf ,f :X−→Y0 1est une application continueF : X×I −→ Y(x,t) −→ f (x) =F(t,x)treliant f a` f . On dit que les applications f et f sont homotopes et on ´ecrit f ∼f .0 1 0 1 0 1Onv´erifieimm´ediatementquelarelationd’homotopieestunerelationd’´equivalencesurTop(X,Y).D´efinition1.1.3. On note[X,Y] l’ensembleTop(X,Y)/∼ des classes d’homotopie d’applicationsde X vers Y.D´efinition 1.1.4 (homotopie ...