Maths Spe - Cours

- DIVISION DES ENTIERS - NOMBRE PREMIERS • Un nombre p est premier lorsqu’il ne possède que deux DIVISIBILITE DANS Z diviseurs : 1 et lui-même. C’est à dire que Dp = {1, p}. • b divise a lorsqu’il existe un entier k tel que a = kb • L’ensemble des nombres premiers P est infini. On dit que a est multiple de b ; b est diviseur de a. Soit n un entier naturel : • Pour tout entier relatif (Z) a, b, c on a : - 1, a, -1 et –a qui divisent a • Tout n autre que 1 possède au moins un diviseur - a | b et b | a Û a = b ou a = -b premier. - a | b et b | c Þ a | c • Tout n, non premier et autre que 0 et 1, possède au • Combinaisons linéaires avec a, b, a et b ˛ Z : moins un diviseur premier p tel que p² £ n. - a a + b b est une combinaison linéaire de a et b - d | a et d | b Þ d | a a + b b • Tout n autre que 0 et 1 se décompose de façon unique a a a1 2 msous la forme n = p . p . … . p avec : 1 2 m• L’ ensemble des diviseurs d’un entier naturel (N) a se - p < p < … < p 1 2 mnote Da = {…, …, …} et on a : - p , p , …, p sont des nombres premiers 1 2 m- 1 ˛ Da et a ˛ Da - a , a , …, a sont des entiers naturels - a | b Þ Da Db 1 2 m- Da = Db Û a = b Dd D(a + b) a, b, d ˛ N DIVISION EUCLIDIENNE - d | a et d | b Þ Dd D | a - b | avec a, ß ˛ Z Dd D | a a + b b | Soit a ˛ N et b ˛ N*, il existe un couple unique (q, r) d’entiers naturels tel que a = bq + r avec 0 £ r < b. • L’ensemble des multiples d’un entier naturel (N) a se note Ma = { ...