Mathematiques pour l'ingenieur - Rappels de cours - Methodes - Exercices et problemes avec corriges

OUTILSMATHÉMATIQUES 1DEBASERAPPELSDECOURS1.1 RAPPELSD’ANALYSEa) IntégralesgénéraliséesDéfinitions ∞ Rf (x)dx= lim f (x)dxR→∞a a b bf (x)dx= lim f (x)dx si f non bornée en x= ae→0a a+eSi ces limites existent, on dit que l’intégrale correspondante converge (ou est convergente),sinon elle diverge (ou est divergente).Exemplel’intégrale de Riemann (dans les deux cas ci-dessous on a a > 0):∞ 1• à l’infini dx converge si a > 1 et diverge sinonaxa a 1• en zéro dx converge si a < 1 et diverge sinon.ax0On en déduit un critèredeconvergencetrès utile :∞1• si pour x∼∞on a : f(x)∼ alors l’intégrale f(x)dx converge si a > 1 et diverge sinon;ax aa1• si pour x∼ 0 on a : f(x)∼ alors l’intégrale f(x)dx converge si a < 1 et diverge sinon.ax 0Par extension on définit (définition au sens standard) ∞ c Rf (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx pour c borné quelconque.R →∞ R→∞−∞ −R c b c−e bf (x)dx = lim f (x)dx+lim f (x)dx si f non bornée en x= c∈ ]a, b[e→0 e→0a a c+e•Chapitre1 OutilsmathématiquesdebaseOn utilise souvent une définition alternative de ces intégrales généralisées dite au sens de la partieprincipale (ou valeur principale) de Cauchy ∞ RPP f (x)dx = lim f (x)dxR→∞−∞ −R b c−e bPP f (x)dx = lim f (x)dx + f (x)dx si f non bornée en x= c∈ ]a, b[e→0a a c+eSi l’intégrale converge au sens standard elle converge aussi en partie principale et les deux défi-nitions donnent la même valeur de l’intégrale. Une intégrale ...