Math cours 1

n1 Comment mesurer la longueur d’une courbe dans R ?1Une manière très intuitive est d’approximer cette courbe par une succession de lignes.Prenons quelques exemples :Dans De ~u à ~v Longueurp2 2 2R (u ,u )→ (v ,v ) uv¯ = (v −u ) +(v −u )1 2 1 2 1 1 2 2p3 2 2 2R (u ,u ,u )→ (v ,v ,v ) uv¯ = (v −u ) +(v −u ) +(v −u )1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3pPnn 2R (u ,u ,...,u )→ (v ,v ,...,v ) uv¯ = (v −u )1 2 n 1 2 n i ii=1Néanmoins, un problème se pose : Comment trouver les coordonnées de ~u et ~v?n2 Représentation paramétrique d’un arc de courbe dans R2.1 Définitionsnγ : [a,b] → RCAD un arc de courbe est défini par un paramètre sur un intervalleExemple : γ(t) = (cost,sint)D : a = a < a < a < ... < a = b0 1 2 nD est le découpage et le Pas de D est le max|a −a |i i−1PnLa longueur est calculée avec la formule : k γ(a )−γ(a )ki i−1 2i=12.2 Définition de la longueurLa longueur de γ est une quantité I ∈ R telle que∀ > 0, ∃δ > 0 tq pas de D≤ δ ⇒ |I−D|≤ 3 La MasseSoit une fonction f qui décrit la densité de l’arc de courbe en un pointnf : R → RnXM = k γ(a )−γ(a )k f(γ(t ))D i i−1 2 ii=13.1 DéfinitionL’intégrale de f le long de γ est une quantité I ∈ R tq∀ > 0, ∃δ > 0 tq pas de D≤ δ ⇒ |I−M |≤ DAttention : t ∈]a ,a [i i−1 iRI sera noté fγ1la dénomination exacte n’est pas courbe mais arc de courbe13.2 Comment calculervu nXut 2k γ(a )−γ(a )k = (γ(a )−γ(a )) (1)i i−1 2 i i−1i=1vu nXu2t 2= γ (t )(a −a ) (2)ij i i−1ji=1vu nuXt 2= (a −a ) γ (t ) (3)i i−1 ...