Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon

Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiquesEmmanuel Risler, INSA de Lyon1 - Equations différentielles sur la droiteDéterminisme et équations différentielles• Système S dont l’état peut évoluer dans le temps• On peut considérer l’ensemble E de tous les états possibles du système• Cet ensemble est appelé l’espace des états, ou espace des phases• Si l’état du système est caractérisé par un nombre fini de quantités réelles, alors n nl’espace des états est R ou un sous-ensemble de R• On dit que le système évolue de façon déterministe si son état à un instant donné détermine tous ses états futurs• Dans ce cas, son état à un instant donné détermine également toutes ses vitesses futures, et en particulier sa vitesse à ce même instantx x3 3?? ?X(t)x x2 2x x1 1dx(t) = V(x(t))dtDéterminisme et équations différentielles (suite)• A tout système déterministe, on peut associer un champ de vecteurs x->V(x) sur l’espace des phases, c’est le champ des vitesses instantanées d’évolution du système• L’évolution du système vérifie naturellement l’équation différentielle associée à ce champ de vecteur• Réciproquement, tout système dont l’évolution vérifie une telle équation différentielle se comporte-t-il de façon déterministe ? • Oui, c’est le théorème d’existence et d’unicité des solutions• Le caractère déterministe de l’évolution du fait de l’équation différentielle peut être illustré par la méthode d’Euler : x(t+dt) = x(t)+V(x(t)) dt• Le ...