Généralité sur les fonctions

66Chapitre 16Généralités sur les fonctions :Troisième partieIl s’agit ici de repérer des propriétés communes à des «familles » de fonctions qu’on rencontre lors de larésolution de problèmes.Ces propriétés nous aideront pour la compréhension et/ou pour à la résolution des problèmes.I Fonction polynôme du second degréDes exemples :1 12• Montrer que le nombre triangulaire pour n entier est : T = n + n.n2 2• Montrer qu’avec 100 mètres de bouées, on peut délimiter une surface de baignade surveillée rectan-2 2gulaire de côté x mètres et d’aire :−2x +100x, m .Propriété2L’expression obtenue est variable et de la forme ax +bx+c, avec a = 0.On dit qu’elle est du second degré.On peut se souvenir que beaucoup de problèmes étudiés depuis le début de l’année avaient aussi cettepropriété. On s’intéresse donc à cette famille de fonctions :DéfinitionOn appelle fonction polynôme du second degré, toute fonction f définie surR par une ex-2pression du second degré , c’est à dire f(x) = ax +bx+c, avec a = 0.Propriété Les différentes formes2Toute expression du second degré a sa forme développée : ax +bx+c2et parfois une forme factorisée mais possède toujours une forme canonique : a(x−α) +βDémonstration: AdmisExemples :2 2• Vérifier que f(x) = 2(x−3) +5 est la forme canonique de f(x) = 2x −12x+23,2• Vérifier que f(x) =−7(x+6) −10 n’a pas de forme factorisée!2 2• Développer (x−1) , en déduire la forme canonique de f(x) = x −2x+3.55777756 CHAPITRE 16. GÉNÉRALITÉS ...