Exercices 1 et 2 sans rappel de cours

STATISTIQUE MULTIVARIEE APPROFONDIE 2009-2010 14 octobre 2009 Corrigé des exercices Exercice 1 : On cherche la loi du couple (U,V), on a : EU()=+E(X Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=0 EV()=−E(X Y)=E(X)−E(Y)=0 et d’autre part, var(UX)=+var(Y+Z)=var(X)+var(Y)+var(Z)=3 22var(VX)=−var(Y)=E((X−Y) )−EX−Y=var(X)+var(Y)=2 ()et cov(UV, )E (UV ) E (U )E (V )=E ((X+Y+Z )(X−Y )) 22=−EX()E(Y)+EX(Z)−E(YZ)=var(X)−var(Y)=0donc U ⎛⎞030 ⎛⎞⎛ ⎞ ∼ N , ⎜⎟ 2 ⎜⎟⎜ ⎟V 002⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠ Comme cette loi est normale alors comme les covariances sont nulles alors les variables U et V sont indépendantes. Exercice 2 : La combinaison linéaire d’une variable aléatoire multinormale est multinormale. On a E()Y=+E(AZ c)=E(AZ)+c=AE(Z)+c . Pour la variance, var(YA) = var(Z+=c) var(AZ)2 TT==EA(() ) E(AZA ) TT TAEZ()Z A Avar(Z)ATTAI A AAp 1STATISTIQUE MULTIVARIEE APPROFONDIE 2009-2010 14 octobre 2009 Exercice 3 : Afin de trouver l’ellipsoïde d’isodensité, on utilise la distance de Mahalanobis, celle-ci suit 2une loi du χ à p degré de liberté (p étant la dimension du vecteur traité, ici p=2). On calcule pdonc dans le premier cas : 2x 10⎛⎞⎛ ⎞ y22 Dx==yx+ ()⎜⎟⎜ ⎟y 014 4⎝⎠⎝ ⎠ 22 2CommeD ∼ χ , on veutP()x∈=E0,95⇒Px(<χ)=Px(<6)=0,95, le k vaudra 6, on k 2veut donc résoudre : 222yx⎛⎞⎛y⎞2x+=61⇔ + = ⎜⎟⎜⎟4 626⎝⎠⎝⎠ On a 62,45. Une ellipse de centre (0,0) et de rayon 2,45 sur les x et 4,9 sur les y. De même pour P2. 2 22x − 2() 2 ⎛⎞xy−−⎛⎞+−=⇔ + =On ...